Докажи, что ∠ BOC = ∠ DOE. Найди углы DEF и MEF. Найди отрезок MK.

4. Доказательство: Т.к. $\angle AOB = \angle COD$ и $\angle AOC = \angle COE$, то можем записать: $\angle AOB + \angle BOC = \angle AOC$ и $\angle COD + \angle DOE = \angle COE$ Следовательно, $\angle AOC = \angle COE$, значит, $\angle AOB + \angle BOC = \angle COD + \angle DOE$. Т.к. $\angle AOB = \angle COD$, то $\angle BOC = \angle DOE$. 5. Пусть $\angle KEF = x$, тогда $\angle MEF = 4x$. Т.к. EK - биссектриса угла DEF, то $\angle DEF = 2 \cdot \angle KEF = 2x$. Углы DEF и MEF - смежные, значит, $\angle DEF + \angle MEF = 180^{\circ}$. Получаем уравнение: $2x + 4x = 180^{\circ}$. $6x = 180^{\circ}$. $x = 30^{\circ}$. Тогда $\angle DEF = 2x = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ}$, $\angle MEF = 4x = 4 \cdot 30^{\circ} = 120^{\circ}$. **Ответ: $\angle DEF = 60^{\circ}$, $\angle MEF = 120^{\circ}$** 6. Допущение: точки M, K и P расположены на прямой в указанном порядке. Пусть KP = x, тогда MK = 5x. MP = MK + KP = 5x + x = 6x. По условию MP = 24 см, значит, 6x = 24 см. x = 4 см. MK = 5x = 5 * 4 = 20 см. **Ответ: MK = 20 см**