Реши задания на упрощение выражений со степенями и дробями.

Привет! Давай разберем эти задания по порядку. Тут много вычислений со степенями, дробями, нужно упрощать выражения. Сейчас помогу тебе с каждым пунктом! **Задание 1** 1. Какому из выражений равно выражение $m^{-7}$? Чтобы это понять, нужно вспомнить, что отрицательная степень означает, что число нужно перевернуть и возвести в положительную степень. То есть: $$m^{-7} = \frac{1}{m^7}$$ Так что правильный ответ: 2) $\frac{1}{m^7}$ 2. Вычислите $2^{-3}$. Опять же, отрицательная степень. Переворачиваем и возводим в положительную степень: $$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$$ 3. Выполните действия: $(\frac{7}{16})^{-1} + (\frac{1}{2})^{-2}$ Сначала разберемся с каждой скобкой отдельно: * $(\frac{7}{16})^{-1} = \frac{16}{7}$ (перевернули дробь) * $(\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4$ (перевернули дробь и возвели в квадрат) Теперь складываем: $$\frac{16}{7} + 4 = \frac{16}{7} + \frac{28}{7} = \frac{44}{7}$$ Можно выделить целую часть: $\frac{44}{7} = 6\frac{2}{7}$ 4. Расположите в порядке убывания: $(\frac{1}{3})^1, (\frac{1}{3})^0, (\frac{1}{3})^{-2}, (\frac{1}{3})^3$ * $(\frac{1}{3})^1 = \frac{1}{3}$ * $(\frac{1}{3})^0 = 1$ (любое число в степени 0 равно 1) * $(\frac{1}{3})^{-2} = 3^2 = 9$ (перевернули и возвели в квадрат) * $(\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$ В порядке убывания: $9, 1, \frac{1}{3}, \frac{1}{27}$ То есть: $(\frac{1}{3})^{-2}, (\frac{1}{3})^0, (\frac{1}{3})^1, (\frac{1}{3})^3$ 5. Представьте в виде дроби: $(-6d + 6)d^{-1} + (6k - 4)k^{-1}$ Раскрываем скобки: $$-6d \cdot d^{-1} + 6 \cdot d^{-1} + 6k \cdot k^{-1} - 4 \cdot k^{-1} = -6 + \frac{6}{d} + 6 - \frac{4}{k} = \frac{6}{d} - \frac{4}{k}$$ Приводим к общему знаменателю: $$\frac{6k - 4d}{dk}$$ 6. Представьте в виде степени с основанием $v$ выражение $(v^{-3})^2 \cdot (v^7)^3$ Сначала упрощаем каждую скобку, используя правило $(a^b)^c = a^{b \cdot c}$: * $(v^{-3})^2 = v^{-6}$ * $(v^7)^3 = v^{21}$ Теперь умножаем, используя правило $a^b \cdot a^c = a^{b+c}$: $$v^{-6} \cdot v^{21} = v^{15}$$ 7. Представьте в виде степени с основанием $d$ выражение $\frac{(d^4)^6}{d^{-2}}$ Упрощаем числитель: $$(d^4)^6 = d^{24}$$ Теперь делим, используя правило $\frac{a^b}{a^c} = a^{b-c}$: $$\frac{d^{24}}{d^{-2}} = d^{24 - (-2)} = d^{26}$$ 8. Представьте в виде степени: $\frac{r^4 s^3}{(r^2 s)^5}$ Сначала упрощаем знаменатель: $$(r^2 s)^5 = r^{10} s^5$$ Теперь делим: $$\frac{r^4 s^3}{r^{10} s^5} = r^{4-10} s^{3-5} = r^{-6} s^{-2} = \frac{1}{r^6 s^2}$$ 9. Вычислите: $\frac{216 \cdot 36^{-3}}{6^{-3}}$ Представим все числа как степени 6: * $216 = 6^3$ * $36 = 6^2$, значит, $36^{-3} = (6^2)^{-3} = 6^{-6}$ Теперь подставляем: $$\frac{6^3 \cdot 6^{-6}}{6^{-3}} = \frac{6^{-3}}{6^{-3}} = 1$$ **Задание 2** 1. Какому из выражений равно выражение $n^{-1}$? Как и раньше, отрицательная степень означает переворот числа: $$n^{-1} = \frac{1}{n}$$ Правильный ответ: 1) $\frac{1}{n}$ 2. Вычислите $2^{-3}$. Мы это уже делали: $$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$$ 3. Выполните действия: $(\frac{1}{3})^{-2} - (\frac{1}{5})^{-2}$ Сначала избавляемся от отрицательных степеней: * $(\frac{1}{3})^{-2} = 3^2 = 9$ * $(\frac{1}{5})^{-2} = 5^2 = 25$ Теперь вычитаем: $$9 - 25 = -16$$ 4. Расположите в порядке возрастания: $(\frac{1}{3})^{-3}, (\frac{1}{3})^2, (\frac{1}{3})^{-1}, (\frac{1}{3})^0$ * $(\frac{1}{3})^{-3} = 3^3 = 27$ * $(\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$ * $(\frac{1}{3})^{-1} = 3$ * $(\frac{1}{3})^0 = 1$ В порядке возрастания: $\frac{1}{9}, 1, 3, 27$ То есть: $(\frac{1}{3})^2, (\frac{1}{3})^0, (\frac{1}{3})^{-1}, (\frac{1}{3})^{-3}$ 5. Представьте в виде дроби: $(2f + 6)^{-1} - (2v - 9)v^{-1}$ Перепишем с дробями: $$\frac{1}{2f + 6} - \frac{2v - 9}{v}$$ Приводим к общему знаменателю: $$\frac{v - (2v - 9)(2f + 6)}{v(2f + 6)} = \frac{v - (4vf + 12v - 18f - 54)}{2fv + 6v} = \frac{v - 4vf - 12v + 18f + 54}{2fv + 6v} = \frac{-4vf - 11v + 18f + 54}{2fv + 6v}$$ 6. Представьте в виде степени с основанием $b$ выражение $(b^{-7})^{-9} \cdot (b^{-2})^3$ Упрощаем каждую скобку: * $(b^{-7})^{-9} = b^{63}$ * $(b^{-2})^3 = b^{-6}$ Теперь умножаем: $$b^{63} \cdot b^{-6} = b^{57}$$ 7. Представьте в виде степени с основанием $u$ выражение $\frac{(u^{-7})^6}{u^{5}}$ Упрощаем числитель: $$(u^{-7})^6 = u^{-42}$$ Теперь делим: $$\frac{u^{-42}}{u^5} = u^{-42 - 5} = u^{-47}$$ 8. Представьте в виде степени: $\frac{x^{-5} y^{-2}}{(x^4 y^{-3})^{-6}}$ Упрощаем знаменатель: $$(x^4 y^{-3})^{-6} = x^{-24} y^{18}$$ Теперь делим: $$\frac{x^{-5} y^{-2}}{x^{-24} y^{18}} = x^{-5 - (-24)} y^{-2 - 18} = x^{19} y^{-20} = \frac{x^{19}}{y^{20}}$$ 9. Вычислите: $\frac{5 \cdot 125^{-4}}{25^{-5}}$ Представим все числа как степени 5: * $125 = 5^3$, значит, $125^{-4} = (5^3)^{-4} = 5^{-12}$ * $25 = 5^2$, значит, $25^{-5} = (5^2)^{-5} = 5^{-10}$ Теперь подставляем: $$\frac{5 \cdot 5^{-12}}{5^{-10}} = \frac{5^{-11}}{5^{-10}} = 5^{-11 - (-10)} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$$ **Задание 5** 1. Какому из выражений равно выражение $d^{-6}$? Снова вспоминаем про отрицательные степени: $$d^{-6} = \frac{1}{d^6}$$ Правильный ответ: 2) $\frac{1}{d^6}$ 2. Вычислите $2^{-7}$. $$2^{-7} = \frac{1}{2^7} = \frac{1}{128}$$ 3. Выполните действия: $(\frac{2}{3})^{-1} - (\frac{2}{5})^{-3}$ Сначала избавляемся от отрицательных степеней: * $(\frac{2}{3})^{-1} = \frac{3}{2}$ * $(\frac{2}{5})^{-3} = (\frac{5}{2})^3 = \frac{125}{8}$ Теперь вычитаем: $$\frac{3}{2} - \frac{125}{8} = \frac{12}{8} - \frac{125}{8} = -\frac{113}{8}$$ 4. Расположите в порядке возрастания: $(\frac{1}{2})^{-3}, (\frac{1}{2})^6, (\frac{1}{2})^2, (\frac{1}{2})^0$ * $(\frac{1}{2})^{-3} = 2^3 = 8$ * $(\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64}$ * $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$ * $(\frac{1}{2})^0 = 1$ В порядке возрастания: $\frac{1}{64}, \frac{1}{4}, 1, 8$ То есть: $(\frac{1}{2})^6, (\frac{1}{2})^2, (\frac{1}{2})^0, (\frac{1}{2})^{-3}$ 5. Представьте в виде дроби: $(6b + 5)b^{-1} - (6x - 1)x^{-1}$ Раскрываем скобки: $$6b \cdot b^{-1} + 5 \cdot b^{-1} - 6x \cdot x^{-1} + 1 \cdot x^{-1} = 6 + \frac{5}{b} - 6 + \frac{1}{x} = \frac{5}{b} + \frac{1}{x}$$ Приводим к общему знаменателю: $$\frac{5x + b}{bx}$$ 6. Представьте в виде степени с основанием $u$ выражение $(u^{-6})^{-2} \cdot (u^{-5})^6$ Упрощаем каждую скобку: * $(u^{-6})^{-2} = u^{12}$ * $(u^{-5})^6 = u^{-30}$ Теперь умножаем: $$u^{12} \cdot u^{-30} = u^{-18}$$ 7. Представьте в виде степени с основанием $r$ выражение $\frac{(r^{4})^{-5}}{(r^{-2})^3}$ Упрощаем числитель и знаменатель: * $(r^4)^{-5} = r^{-20}$ * $(r^{-2})^3 = r^{-6}$ Теперь делим: $$\frac{r^{-20}}{r^{-6}} = r^{-20 - (-6)} = r^{-14}$$ 8. Представьте в виде степени: $\frac{p^{-5} q^{-9}}{(p^{-2} q^3)^{-5}}$ Упрощаем знаменатель: $$(p^{-2} q^3)^{-5} = p^{10} q^{-15}$$ Теперь делим: $$\frac{p^{-5} q^{-9}}{p^{10} q^{-15}} = p^{-5 - 10} q^{-9 - (-15)} = p^{-15} q^{6} = \frac{q^6}{p^{15}}$$ 9. Вычислите: $\frac{25^{-20}}{5^{-39}}$ Представим 25 как степень 5: $25 = 5^2$, значит, $25^{-20} = (5^2)^{-20} = 5^{-40}$ Теперь делим: $$\frac{5^{-40}}{5^{-39}} = 5^{-40 - (-39)} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$$ **Задание 6** 1. Какому из выражений равно выражение $d^{-9}$? Снова отрицательная степень: $$d^{-9} = \frac{1}{d^9}$$ Правильный ответ: 2) $\frac{1}{d^9}$ 2. Вычислите $2^{-6}$. $$2^{-6} = \frac{1}{2^6} = \frac{1}{64}$$ 3. Выполните действия: $(\frac{1}{3})^{-2} + (\frac{1}{2})^{-2}$ Избавляемся от отрицательных степеней: * $(\frac{1}{3})^{-2} = 3^2 = 9$ * $(\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4$ Теперь складываем: $$9 + 4 = 13$$ 4. Расположите в порядке возрастания: $(\frac{1}{7})^0, (\frac{1}{7})^{-1}, (\frac{1}{7})^3, (\frac{1}{7})^4$ * $(\frac{1}{7})^0 = 1$ * $(\frac{1}{7})^{-1} = 7$ * $(\frac{1}{7})^3 = \frac{1}{343}$ * $(\frac{1}{7})^4 = \frac{1}{2401}$ В порядке возрастания: $\frac{1}{2401}, \frac{1}{343}, 1, 7$ То есть: $(\frac{1}{7})^4, (\frac{1}{7})^3, (\frac{1}{7})^0, (\frac{1}{7})^{-1}$ 5. Представьте в виде дроби: $(7h - 6)h^{-1} - (7p - 1)p^{-1}$ Раскрываем скобки: $$7h \cdot h^{-1} - 6 \cdot h^{-1} - 7p \cdot p^{-1} + 1 \cdot p^{-1} = 7 - \frac{6}{h} - 7 + \frac{1}{p} = -\frac{6}{h} + \frac{1}{p}$$ Приводим к общему знаменателю: $$\frac{-6p + h}{hp}$$ 6. Представьте в виде степени с основанием $a$ выражение $(a^7)^{-2} \cdot (a^8)^5$ Упрощаем каждую скобку: * $(a^7)^{-2} = a^{-14}$ * $(a^8)^5 = a^{40}$ Теперь умножаем: $$a^{-14} \cdot a^{40} = a^{26}$$ 7. Представьте в виде степени с основанием $r$ выражение $\frac{r^{5}}{(r^{-2})^{-3}}$ Упрощаем знаменатель: $$(r^{-2})^{-3} = r^{6}$$ Теперь делим: $$\frac{r^{5}}{r^{6}} = r^{5 - 6} = r^{-1} = \frac{1}{r}$$ 8. Представьте в виде степени: $\frac{p^{-6} q^5}{(p^{-2} q^{-3})^5}$ Упрощаем знаменатель: $$(p^{-2} q^{-3})^5 = p^{-10} q^{-15}$$ Теперь делим: $$\frac{p^{-6} q^5}{p^{-10} q^{-15}} = p^{-6 - (-10)} q^{5 - (-15)} = p^{4} q^{20}$$ 9. Вычислите: $\frac{6^4 \cdot 36^{-5}}{6^{-7}}$ Представим 36 как степень 6: $36 = 6^2$, значит, $36^{-5} = (6^2)^{-5} = 6^{-10}$ Теперь подставляем: $$\frac{6^4 \cdot 6^{-10}}{6^{-7}} = \frac{6^{-6}}{6^{-7}} = 6^{-6 - (-7)} = 6^1 = 6$$ Надеюсь, теперь тебе стало понятнее, как решать такие задания! Если что, спрашивай ещё!