Реши задачи по геометрии из варианта 1: найди третью сторону и площадь треугольника, сторону AB, угол MPN, сторону AC и угол AOK.

1. Для треугольника со сторонами 10 см, 12 см и углом 120° между ними: * По теореме косинусов найдем третью сторону $c$: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(\gamma)$, где $a = 10$, $b = 12$, $\gamma = 120^\circ$ $c^2 = 10^2 + 12^2 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot cos(120^\circ) = 100 + 144 - 240 \cdot (-0.5) = 244 + 120 = 364$ $c = \sqrt{364} = 2\sqrt{91} \approx 19.08 \text{ см}$ * Площадь треугольника найдем по формуле: $S = \frac{1}{2}ab \cdot sin(\gamma)$ $S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot sin(120^\circ) = 60 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3} \approx 51.96 \text{ см}^2$ **Ответ: Третья сторона ≈ 19.08 см, Площадь ≈ 30$\sqrt{3}$ см$^2$** 2. В треугольнике ABC, где AC = $5\sqrt{2}$ см, ∠B = 45°, ∠C = 30°: * Найдем угол A: ∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 45° - 30° = 105° * По теореме синусов найдем сторону AB: $\frac{AB}{sin(C)} = \frac{AC}{sin(B)}$ $AB = \frac{AC \cdot sin(C)}{sin(B)} = \frac{5\sqrt{2} \cdot sin(30^\circ)}{sin(45^\circ)} = \frac{5\sqrt{2} \cdot 0.5}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{5\sqrt{2} \cdot 0.5 \cdot 2}{\sqrt{2}} = 5 \text{ см}$ **Ответ: AB = 5 см** 3. В равностороннем треугольнике ABC биссектрисы CN и AM пересекаются в точке P. Найдем ∠MPN. * В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Биссектрисы делят углы пополам, поэтому ∠NAC = ∠NCA = 30°. * ∠ANC = 180° - ∠NAC - ∠ACN = 180° - 30° - 60° = 90° * Точка пересечения биссектрис (точка P) является центром вписанной окружности. * Угол ∠MPN является внешним углом треугольника AMP, поэтому ∠MPN = ∠MAP + ∠AMP = 30° + 90° = 120° **Ответ: ∠MPN = 120°** 4. В равнобедренном треугольнике ABC (AC = BC), высота CH = 12, AB = 10. Найдем AC. * Высота CH является также медианой. Значит, AH = HB = AB / 2 = 10 / 2 = 5. * Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. По теореме Пифагора: AC² = AH² + CH² AC² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169 AC = √169 = 13 **Ответ: AC = 13** 5. В равностороннем треугольнике ABC медианы BK и AM пересекаются в точке O. Найдем ∠AOK. * В равностороннем треугольнике медианы являются и биссектрисами, и высотами. * Точка пересечения медиан (точка O) делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. * Все медианы в равностороннем треугольнике равны и пересекаются под углом 60°. * $\angle AOK = 60^\circ$ **Ответ: ∠AOK = 60°**