Две стороны треугольника равны 8 см и 4 см, а угол между ними - 30°. Найди третью сторону треугольника и его площадь.

1. Применим теорему косинусов, чтобы найти третью сторону $c$ треугольника: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(\gamma)$$, где $a = 8$ см, $b = 4$ см, $\gamma = 30^\circ$. $$c^2 = 8^2 + 4^2 - 2 \cdot 8 \cdot 4 \cdot cos(30^\circ) = 64 + 16 - 64 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 80 - 32\sqrt{3} \approx 24.56$$. Тогда $c = \sqrt{24.56} \approx 4.96$ см. Площадь треугольника равна: $$S = \frac{1}{2}ab \cdot sin(\gamma) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 \cdot sin(30^\circ) = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8$$ см$^2$. 2. Используем теорему синусов для нахождения стороны AC: $$\frac{AC}{sin(\angle B)} = \frac{BC}{sin(\angle A)}$$. $$AC = \frac{BC \cdot sin(\angle B)}{sin(\angle A)} = \frac{7 \cdot sin(30^\circ)}{sin(45^\circ)} = \frac{7 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{7}{\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{2} \approx 4.95$$ см. 3. Для нахождения косинусов углов используем теорему косинусов: $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot cos(\alpha)$$, где $a = BC = 8$ см, $b = AC = 6$ см, $c = AB = 10$ см. $$cos(\angle A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{6^2 + 10^2 - 8^2}{2 \cdot 6 \cdot 10} = \frac{36 + 100 - 64}{120} = \frac{72}{120} = \frac{3}{5} = 0.6$$. $$cos(\angle B) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{8^2 + 10^2 - 6^2}{2 \cdot 8 \cdot 10} = \frac{64 + 100 - 36}{160} = \frac{128}{160} = \frac{4}{5} = 0.8$$. $$cos(\angle C) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{8^2 + 6^2 - 10^2}{2 \cdot 8 \cdot 6} = \frac{64 + 36 - 100}{96} = \frac{0}{96} = 0$$. **Ответ:** 1. Третья сторона $\approx 4.96$ см, площадь = 8 см$^2$. 2. Сторона AC $\approx 4.95$ см. 3. $cos(\angle A) = 0.6$, $cos(\angle B) = 0.8$, $cos(\angle C) = 0$.