Реши задачи 6-10 по геометрии

6. Т.к. $OPQR$ – ромб, то $OP = OQ = OR$, значит, треугольник $OPQ$ и $ORQ$ – равнобедренные. Тогда $\angle OPQ = \angle OQP$ и $\angle ORQ = \angle OQR$. Т.к. $O$ – центр окружности, то $OP = OQ = OR$ – радиусы. Значит, $\triangle OPQ$ и $\triangle ORQ$ – равносторонние, и все их углы равны $60^\circ$. Следовательно, $\angle ORQ = 60^\circ$. **Ответ: 60** 7. Пусть сторона ромба равна $a$, а высота равна $h$. Площадь ромба можно найти по формуле $S = a \cdot h$. Периметр ромба равен $4a$. Из условия задачи известно, что $S = 27$ и $P = 36$. Тогда: $4a = 36$, следовательно, $a = 9$. $9h = 27$, следовательно, $h = 3$. **Ответ: 3** 8. **Допущение:** Ромб - это $ABCD$, $O$ - точка пересечения диагоналей, $OE$ - перпендикуляр к стороне $CD$. Расстояние от точки $O$ до стороны ромба - это $OE = 19$. Диагональ $AC = 76$, тогда $AO = OC = 38$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OEC$. В нём $OC$ - гипотенуза, $OE$ - катет. $\sin C = \frac{OE}{OC} = \frac{19}{38} = \frac{1}{2}$. Значит, $\angle C = 30^\circ$. Тогда $\angle A = \angle C = 30^\circ$, $\angle B = \angle D = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$. **Ответ: 30150** 9. **Допущение:** трапеция равнобедренная, т.к. около трапеции описана окружность. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Пусть дан угол $49^\circ$. Тогда второй угол при этом же основании тоже равен $49^\circ$. Два других угла при другом основании равны $180^\circ - 49^\circ = 131^\circ$ (т.к. сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$). **Ответ: 49131131** 10. **Допущение:** $ABCD$ - трапеция, $AB$ - боковая сторона. Т.к. биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $F$, то $\angle BAF = \angle CAF$ и $\angle ABF = \angle CBF$. Т.к. $ABCD$ - трапеция, то $BC \parallel AD$, следовательно, $\angle CAF = \angle BFA$ (накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AF$). Значит, $\angle BAF = \angle BFA$, то есть $\triangle ABF$ - равнобедренный и $AB = BF = AF$. $AB = 24 + 32 = 56$. **Ответ: 56**