4. Найди периметр треугольника, ограниченного прямыми, параллельными сторонам равностороннего треугольника, если периметр исходного треугольника равен 6 см; 5. Найди длину средней линии треугольника ABC, параллельной стороне AC; 6. Докажи, что BMKN – ромб.

4. Раз периметр исходного равностороннего треугольника 6 см, то каждая сторона равна $6 / 3 = 2$ см. Прямые, проведённые через вершины параллельно сторонам, образуют новый равносторонний треугольник, каждая сторона которого в два раза больше стороны исходного треугольника. Значит, сторона нового треугольника равна $2 * 2 = 4$ см, а его периметр $4 * 3 = 12$ см. **Ответ: 12 см** 5. Длина средней линии треугольника, параллельной стороне AC, равна половине длины стороны AC. По рисунку видно, что длина AC равна 4 клеткам. Значит, длина средней линии равна $4 / 2 = 2$ клеткам. **Ответ: 2** 6. Дано: треугольник ABC равносторонний, M, N, K – середины сторон AB, BC, CA соответственно. Доказать: BMKN – ромб. Доказательство: * Так как M и N – середины сторон AB и BC соответственно, то MN – средняя линия треугольника ABC. Следовательно, $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$. * Так как K – середина стороны AC, то $AK = KC = \frac{1}{2}AC$. Отсюда следует, что $MN = AK = KC$. * Аналогично, MK – средняя линия треугольника ABC, следовательно, $MK \parallel BC$ и $MK = \frac{1}{2}BC$. * Так как N – середина стороны BC, то $BN = NC = \frac{1}{2}BC$. Отсюда следует, что $MK = BN = NC$. * В равностороннем треугольнике все стороны равны, то есть $AB = BC = CA$. Тогда и их половины тоже равны: $AM = MB = BN = NC = CK = KA$. * Рассмотрим четырёхугольник BMKN. У него $BM = KN$ и $BK = MN$. Значит, это параллелограмм. Так как $BM = MK$, то параллелограмм BMKN является ромбом. **Что и требовалось доказать.**