Реши показательное неравенство 2^(-x²+3x) < 4

Конечно, давай разберёмся с этими неравенствами! 1) $2^{-x^2+3x} < 4$ * Представим 4 как степень двойки: $4 = 2^2$. Тогда неравенство можно переписать как $2^{-x^2+3x} < 2^2$. * Так как основание степени (2) больше 1, мы можем перейти к сравнению показателей, сохранив знак неравенства: $-x^2 + 3x < 2$. * Перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное неравенство: $-x^2 + 3x - 2 < 0$. Умножим обе части на -1, чтобы изменить знак и получить $x^2 - 3x + 2 > 0$ (не забудь изменить знак неравенства!). * Решим квадратное уравнение $x^2 - 3x + 2 = 0$. Его корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. * Теперь определим знаки неравенства на числовой прямой. Неравенство $x^2 - 3x + 2 > 0$ выполняется, когда $x < 1$ или $x > 2$. 2) $\left(\frac{7}{9}\right)^{2x^2-3x} \geq \frac{9}{7}$ * Заметим, что $\frac{9}{7}$ - это $\left(\frac{7}{9}\right)^{-1}$. Поэтому, неравенство можно переписать как $\left(\frac{7}{9}\right)^{2x^2-3x} \geq \left(\frac{7}{9}\right)^{-1}$. * Так как основание $\frac{7}{9}$ меньше 1, при переходе к сравнению показателей знак неравенства меняется: $2x^2 - 3x \leq -1$. * Перенесём всё в одну сторону: $2x^2 - 3x + 1 \leq 0$. * Решим квадратное уравнение $2x^2 - 3x + 1 = 0$. Корни: $x_1 = \frac{1}{2}$ и $x_2 = 1$. * Теперь определим знаки неравенства на числовой прямой. Неравенство $2x^2 - 3x + 1 \leq 0$ выполняется, когда $\frac{1}{2} \leq x \leq 1$. 3) $\left(\frac{13}{11}\right)^{x^2-3x} < \frac{121}{169}$ * Заметим, что $\frac{121}{169}$ - это $\left(\frac{11}{13}\right)^{2}$ или $\left(\frac{13}{11}\right)^{-2}$. Значит, неравенство можно переписать как $\left(\frac{13}{11}\right)^{x^2-3x} < \left(\frac{13}{11}\right)^{-2}$. * Так как основание $\frac{13}{11}$ больше 1, знак неравенства сохраняется: $x^2 - 3x < -2$. * Перенесём всё в одну сторону: $x^2 - 3x + 2 < 0$. * Решим квадратное уравнение $x^2 - 3x + 2 = 0$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. * Теперь определим знаки неравенства на числовой прямой. Неравенство $x^2 - 3x + 2 < 0$ выполняется, когда $1 < x < 2$. 4) $\left(\frac{2}{3}\right)^{6x^2+x} \geq \frac{9}{4}$ * Заметим, что $\frac{9}{4}$ - это $\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$ или $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}$. Значит, неравенство можно переписать как $\left(\frac{2}{3}\right)^{6x^2+x} \geq \left(\frac{2}{3}\right)^{-2}$. * Так как основание $\frac{2}{3}$ меньше 1, знак неравенства меняется: $6x^2 + x \leq -2$. * Перенесём всё в одну сторону: $6x^2 + x + 2 \leq 0$. * Решим квадратное уравнение $6x^2 + x + 2 = 0$. Дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot 2 = 1 - 48 = -47$. Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней. * Поскольку коэффициент при $x^2$ положителен (6 > 0), парабола $y = 6x^2 + x + 2$ всегда выше оси x. Следовательно, неравенство $6x^2 + x + 2 \leq 0$ не имеет решений.