Реши рациональные уравнения: a) x²/ (x+1) - 5/(x-2) = 11/((x+1)(2-x))

Привет! Конечно, я помогу тебе решить эти уравнения. Они выглядят немного страшновато, но мы справимся! 1) $\frac{x^2}{x+1} - \frac{5}{x-2} = \frac{11}{(x+1)(2-x)}$ Чтобы решить это уравнение, нужно сначала избавиться от знаменателей. Домножим обе части уравнения на $(x+1)(x-2)$, чтобы убрать все дроби: $x^2(x-2) - 5(x+1) = -11$ Раскроем скобки и упростим: $x^3 - 2x^2 - 5x - 5 = -11$ Перенесем все в левую часть: $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$ Теперь нам нужно найти корни этого кубического уравнения. Один из корней можно найти подбором. Например, $x = 1$: $1^3 - 2 \cdot 1^2 - 5 \cdot 1 + 6 = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$ Значит, $x = 1$ — корень. Теперь можно разделить кубический многочлен на $(x - 1)$, чтобы понизить степень уравнения: $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 1)(x^2 - x - 6)$ Теперь решим квадратное уравнение $x^2 - x - 6 = 0$. Можно воспользоваться формулой дискриминанта: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$ $x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 5}{2}$ $x_1 = \frac{1 + 5}{2} = 3$ $x_2 = \frac{1 - 5}{2} = -2$ Итак, корни уравнения: $x = 1, x = 3, x = -2$. **Ответ: x = 1, x = 3, x = -2** 2) $\frac{16x+9}{x+4} - \frac{1}{x} = 2 + 2x$ Умножим обе части уравнения на $x(x+4)$, чтобы избавиться от знаменателей: $x(16x + 9) - (x + 4) = (2 + 2x)x(x + 4)$ Раскроем скобки и упростим: $16x^2 + 9x - x - 4 = (2 + 2x)(x^2 + 4x)$ $16x^2 + 8x - 4 = 2x^2 + 8x + 2x^3 + 8x^2$ $16x^2 + 8x - 4 = 2x^3 + 10x^2 + 8x$ Перенесем все в правую часть: $2x^3 - 6x^2 + 4 = 0$ Разделим на 2: $x^3 - 3x^2 + 2 = 0$ Подберем корень. Например, $x = 1$: $1^3 - 3 \cdot 1^2 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$ Значит, $x = 1$ — корень. Теперь разделим кубический многочлен на $(x - 1)$: $x^3 - 3x^2 + 2 = (x - 1)(x^2 - 2x - 2)$ Решим квадратное уравнение $x^2 - 2x - 2 = 0$: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$ $x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$ Итак, корни уравнения: $x = 1, x = 1 + \sqrt{3}, x = 1 - \sqrt{3}$. **Ответ: x = 1, x = 1 + √3, x = 1 - √3** 3) $\frac{3x^2}{x-1} - \frac{7}{x+1} = \frac{5x^2+9}{x^2-1}$ Обратим внимание, что $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$. Умножим обе части уравнения на $(x - 1)(x + 1)$: $3x^2(x + 1) - 7(x - 1) = 5x^2 + 9$ Раскроем скобки и упростим: $3x^3 + 3x^2 - 7x + 7 = 5x^2 + 9$ Перенесем все в левую часть: $3x^3 - 2x^2 - 7x - 2 = 0$ Подберем корень. Например, $x = -1$: $3(-1)^3 - 2(-1)^2 - 7(-1) - 2 = -3 - 2 + 7 - 2 = 0$ Значит, $x = -1$ — корень. Разделим кубический многочлен на $(x + 1)$: $3x^3 - 2x^2 - 7x - 2 = (x + 1)(3x^2 - 5x - 2)$ Решим квадратное уравнение $3x^2 - 5x - 2 = 0$: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$ $x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 7}{6}$ $x_1 = \frac{5 + 7}{6} = 2$ $x_2 = \frac{5 - 7}{6} = -\frac{1}{3}$ Итак, корни уравнения: $x = -1, x = 2, x = -\frac{1}{3}$. **Ответ: x = -1, x = 2, x = -1/3** 4) $\frac{2x^2}{x-1} - \frac{3x}{x+2} = \frac{2(4x-1)}{x^2+x-2}$ Заметим, что $x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$. Умножим обе части уравнения на $(x - 1)(x + 2)$: $2x^2(x + 2) - 3x(x - 1) = 2(4x - 1)$ Раскроем скобки и упростим: $2x^3 + 4x^2 - 3x^2 + 3x = 8x - 2$ $2x^3 + x^2 + 3x = 8x - 2$ Перенесем все в левую часть: $2x^3 + x^2 - 5x + 2 = 0$ Подберем корень. Например, $x = 1$: $2 \cdot 1^3 + 1^2 - 5 \cdot 1 + 2 = 2 + 1 - 5 + 2 = 0$ Значит, $x = 1$ — корень. Разделим кубический многочлен на $(x - 1)$: $2x^3 + x^2 - 5x + 2 = (x - 1)(2x^2 + 3x - 2)$ Решим квадратное уравнение $2x^2 + 3x - 2 = 0$: $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$ $x = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 5}{4}$ $x_1 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{1}{2}$ $x_2 = \frac{-3 - 5}{4} = -2$ Итак, корни уравнения: $x = 1, x = \frac{1}{2}, x = -2$. **Ответ: x = 1, x = 1/2, x = -2** 5) $\frac{3x}{2x-1} + \frac{x+1}{x+2} = \frac{3}{2-3x-2x^2}$ Заметим, что $2 - 3x - 2x^2 = -(2x - 1)(x + 2)$. Умножим обе части уравнения на $(2x - 1)(x + 2)$: $3x(x + 2) + (x + 1)(2x - 1) = -3$ Раскроем скобки и упростим: $3x^2 + 6x + 2x^2 + x - 1 = -3$ $5x^2 + 7x - 1 = -3$ Перенесем все в левую часть: $5x^2 + 7x + 2 = 0$ Решим квадратное уравнение $5x^2 + 7x + 2 = 0$: $D = 7^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 49 - 40 = 9$ $x = \frac{-7 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 5} = \frac{-7 \pm 3}{10}$ $x_1 = \frac{-7 + 3}{10} = -\frac{2}{5}$ $x_2 = \frac{-7 - 3}{10} = -1$ Итак, корни уравнения: $x = -\frac{2}{5}, x = -1$. **Ответ: x = -2/5, x = -1** 6) $\frac{1-x}{x-3} - \frac{2x}{3x+2} = \frac{4}{6+7x-3x^2}$ Заметим, что $6 + 7x - 3x^2 = -(x - 3)(3x + 2)$. Умножим обе части уравнения на $(x - 3)(3x + 2)$: $-(1 - x)(3x + 2) - 2x(x - 3) = -4$ Раскроем скобки и упростим: $-(3x + 2 - 3x^2 - 2x) - 2x^2 + 6x = -4$ $-3x - 2 + 3x^2 + 2x - 2x^2 + 6x = -4$ $x^2 + 5x - 2 = -4$ Перенесем все в левую часть: $x^2 + 5x + 2 = 0$ Решим квадратное уравнение $x^2 + 5x + 2 = 0$: $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 25 - 8 = 17$ $x = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{2}$ Итак, корни уравнения: $x = \frac{-5 + \sqrt{17}}{2}, x = \frac{-5 - \sqrt{17}}{2}$. **Ответ: x = (-5 + √17)/2, x = (-5 - √17)/2**