Можешь доказать, что в произвольном четырёхугольнике MNPQ верно равенство векторов MN + NQ = MP+PQ?

Конечно, давай докажем эти равенства для четырёхугольника $MNPQ$. Это как игра с векторами, где важно направление и длина! а) Докажем, что $\vec{MN} + \vec{NQ} = \vec{MP} + \vec{PQ}$. Смотри, если мы хотим попасть из точки $M$ в точку $Q$, мы можем пойти двумя разными путями: 1. Сначала из $M$ в $N$, а потом из $N$ в $Q$. Это будет $\vec{MN} + \vec{NQ}$. 2. Или сначала из $M$ в $P$, а потом из $P$ в $Q$. Это будет $\vec{MP} + \vec{PQ}$. Но есть и третий путь! Сразу из $M$ в $Q$, то есть $\vec{MQ}$. По правилу сложения векторов, не важно каким путем мы пойдем, главное, что начало в точке $M$, а конец в точке $Q$. Значит, оба пути приведут нас в одну и ту же точку $Q$, поэтому: $$\vec{MN} + \vec{NQ} = \vec{MQ}$$ $$\vec{MP} + \vec{PQ} = \vec{MQ}$$ А раз оба выражения равны $\vec{MQ}$, то они равны и между собой: $$\vec{MN} + \vec{NQ} = \vec{MP} + \vec{PQ}$$ Что и требовалось доказать! б) Теперь докажем, что $\vec{MN} + \vec{NP} = \vec{MQ} + \vec{QP}$. Тут похожая история. Чтобы попасть из точки $M$ в точку $P$, можно пойти двумя путями: 1. Сначала из $M$ в $N$, а потом из $N$ в $P$. Это будет $\vec{MN} + \vec{NP}$. Но есть и третий путь! Сразу из $M$ в $P$, то есть $\vec{MP}$. Значит: $$\vec{MN} + \vec{NP} = \vec{MP}$$ А чтобы попасть из точки $M$ в точку $P$, можно пойти двумя путями: 2. Сначала из $M$ в $Q$, а потом из $Q$ в $P$. Это будет $\vec{MQ} + \vec{QP}$. Но есть и третий путь! Сразу из $M$ в $P$, то есть $\vec{MP}$. Значит: $$\vec{MQ} + \vec{QP} = \vec{MP}$$ А раз оба выражения равны $\vec{MP}$, то они равны и между собой: $$\vec{MN} + \vec{NP} = \vec{MQ} + \vec{QP}$$ И снова мы доказали то, что требовалось!