Ты просишь доказать, что если векторы AB и CD равны, то середины отрезков AD и BC совпадают и обратное утверждение.

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о векторах и их свойствах, а также о свойствах параллелограммов. 1. **Прямое утверждение:** Допустим, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равны. Это значит, что они имеют одинаковую длину и направление. Пусть $M$ и $N$ - середины отрезков $AD$ и $BC$ соответственно. Нам нужно доказать, что точки $M$ и $N$ совпадают. $\vec{AM} = \vec{MD}$ и $\vec{BN} = \vec{NC}$. Рассмотрим вектор $\vec{MN}$. Его можно выразить двумя способами: $\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AB} + \vec{BN}$ и $\vec{MN} = \vec{MD} + \vec{DC} + \vec{CN}$. Сложим эти два выражения: $2\vec{MN} = (\vec{MA} + \vec{MD}) + (\vec{AB} + \vec{DC}) + (\vec{BN} + \vec{CN})$. Так как $M$ и $N$ - середины отрезков, то $\vec{MA} = -\vec{MD}$ и $\vec{BN} = -\vec{CN}$. Значит, $(\vec{MA} + \vec{MD}) = 0$ и $(\vec{BN} + \vec{CN}) = 0$. Также, так как $\vec{AB} = \vec{CD}$, то $\vec{AB} + \vec{DC} = \vec{AB} - \vec{CD} = 0$. Получаем, что $2\vec{MN} = 0$, следовательно, $\vec{MN} = 0$. Это означает, что точки $M$ и $N$ совпадают. 2. **Обратное утверждение:** Теперь допустим, что середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают, то есть $M = N$. Нам нужно доказать, что $\vec{AB} = \vec{CD}$. Так как $M$ и $N$ совпадают, то $\vec{MN} = 0$. Используем выражения для $\vec{MN}$ из первой части: $\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AB} + \vec{BN} = 0$ и $\vec{MN} = \vec{MD} + \vec{DC} + \vec{CN} = 0$. Следовательно, $\vec{MA} + \vec{AB} + \vec{BN} = \vec{MD} + \vec{DC} + \vec{CN}$. Так как $M$ и $N$ - середины, то $\vec{MA} = -\vec{MD}$ и $\vec{BN} = -\vec{CN}$. Заменим в уравнении: $-\vec{MD} + \vec{AB} - \vec{NC} = \vec{MD} + \vec{DC} + \vec{CN}$. Перегруппируем члены: $\vec{AB} - \vec{CD} = 2\vec{MD} - 2\vec{NC}$. Так как $M = N$, то $\vec{MD} = \vec{NC}$, и следовательно, $2\vec{MD} - 2\vec{NC} = 0$. Получаем, что $\vec{AB} - \vec{CD} = 0$, значит, $\vec{AB} = \vec{CD}$. **Вывод:** Мы доказали, что если векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равны, то середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают, и наоборот, если середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают, то векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равны.