Можешь доказать, что $MNPQ$ - параллелограмм, если на сторонах $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ четырёхугольника $ABCD$ отмечены соответственно точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ так, что $AM = CP$, $BN = DQ$, $BM = DP$, $NC=QA$?

Чтобы доказать, что $MNPQ$ — параллелограмм, нужно показать, что его противоположные стороны параллельны или равны. Давай рассмотрим четырёхугольник $ABCD$ и точки $M, N, P, Q$ на его сторонах. 1. Так как $AM = CP$ и $ABCD$ — параллелограмм, то $MB = PD$ (потому что $AB = CD$ и $AB - AM = CD - CP$). 2. Также дано, что $BN = DQ$ и $NC = QA$. Теперь рассмотрим треугольники $MBN$ и $PDQ$. У них: * $MB = PD$ (из пункта 1) * $BN = DQ$ (дано) * $\angle B = \angle D$ (как противоположные углы параллелограмма $ABCD$) Значит, треугольники $MBN$ и $PDQ$ равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует, что $MN = QP$. Аналогично можно доказать равенство треугольников $QAM$ и $PCN$, и из этого будет следовать, что $MQ = NP$. Так как в четырёхугольнике $MNPQ$ противоположные стороны попарно равны ($MN = QP$ и $MQ = NP$), то $MNPQ$ — параллелограмм. **Ответ: $MNPQ$ — параллелограмм**