Определи, сколько метров тоннеля проложили рабочие в первый день, если рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров, и известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра тоннеля.

Пусть $x$ - это число метров, на которое увеличивается норма прокладки тоннеля каждый день. Тогда длина тоннеля, проложенного в каждый из 10 дней, образует арифметическую прогрессию, где первый член $a_1 = 3$ метра, а разность равна $x$ метров. Сумма длин всех проложенных участков тоннеля равна 500 метров. Используем формулу суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$, где $S_n$ - сумма $n$ членов прогрессии, $n$ - количество членов, $a_1$ - первый член, $a_n$ - последний член. В нашем случае: $S_{10} = 500$, $n = 10$, $a_1 = 3$. Также мы знаем, что $a_n = a_1 + (n - 1)d$, где $d$ - разность арифметической прогрессии (в нашем случае $x$). Тогда $a_{10} = 3 + 9x$. Подставим все в формулу суммы: $500 = \frac{10(3 + 3 + 9x)}{2}$ $500 = 5(6 + 9x)$ $100 = 6 + 9x$ $94 = 9x$ $x = \frac{94}{9} \approx 10.44$ Теперь найдем, сколько метров тоннеля было проложено в последний день: $a_{10} = 3 + 9 \cdot \frac{94}{9} = 3 + 94 = 97$ **Ответ: 97 метров**