Реши неравенство: a) x²-6x-7 > 0

Конечно, давай решим эти неравенства! а) $x^2 - 6x - 7 > 0$ * Сначала найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 6x - 7 = 0$. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. Давай через дискриминант: $$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$$ $$x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 8}{2} = 7$$ $$x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 8}{2} = -1$$ * Теперь отметим эти корни на числовой прямой и определим знаки неравенства на каждом интервале: ----(-1)----(7)----> На интервале $(-\infty; -1)$ можно взять $x = -2$: $(-2)^2 - 6(-2) - 7 = 4 + 12 - 7 = 9 > 0$ (знак +) На интервале $(-1; 7)$ можно взять $x = 0$: $(0)^2 - 6(0) - 7 = -7 < 0$ (знак -) На интервале $(7; +\infty)$ можно взять $x = 8$: $(8)^2 - 6(8) - 7 = 64 - 48 - 7 = 9 > 0$ (знак +) * Так как нам нужно $x^2 - 6x - 7 > 0$, выбираем интервалы со знаком плюс. **Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (7; +\infty)$** б) $-x^2 - 2x + 8 > 0$ * Умножим неравенство на $-1$, чтобы избавиться от минуса перед $x^2$. Не забудем изменить знак неравенства: $$x^2 + 2x - 8 < 0$$ * Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$: $$D = (2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$$ $$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = -4$$ * Отметим корни на числовой прямой и определим знаки неравенства: ----(-4)----(2)----> На интервале $(-\infty; -4)$ можно взять $x = -5$: $(-5)^2 + 2(-5) - 8 = 25 - 10 - 8 = 7 > 0$ (знак +) На интервале $(-4; 2)$ можно взять $x = 0$: $(0)^2 + 2(0) - 8 = -8 < 0$ (знак -) На интервале $(2; +\infty)$ можно взять $x = 3$: $(3)^2 + 2(3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7 > 0$ (знак +) * Так как нам нужно $x^2 + 2x - 8 < 0$, выбираем интервал со знаком минус. **Ответ: $x \in (-4; 2)$** в) $-x^2 + 6x - 5 < 0$ * Умножим неравенство на $-1$, чтобы избавиться от минуса перед $x^2$: $$x^2 - 6x + 5 > 0$$ * Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$: $$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$$ $$x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4}{2} = 5$$ $$x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 4}{2} = 1$$ * Отметим корни на числовой прямой и определим знаки неравенства: ----(1)----(5)----> На интервале $(-\infty; 1)$ можно взять $x = 0$: $(0)^2 - 6(0) + 5 = 5 > 0$ (знак +) На интервале $(1; 5)$ можно взять $x = 2$: $(2)^2 - 6(2) + 5 = 4 - 12 + 5 = -3 < 0$ (знак -) На интервале $(5; +\infty)$ можно взять $x = 6$: $(6)^2 - 6(6) + 5 = 36 - 36 + 5 = 5 > 0$ (знак +) * Так как нам нужно $x^2 - 6x + 5 > 0$, выбираем интервалы со знаком плюс. **Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (5; +\infty)$** г) $x^2 + 2x - 48 < 0$ * Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 2x - 48 = 0$: $$D = (2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196$$ $$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 14}{2} = 6$$ $$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 14}{2} = -8$$ * Отметим корни на числовой прямой и определим знаки неравенства: ----(-8)----(6)----> На интервале $(-\infty; -8)$ можно взять $x = -9$: $(-9)^2 + 2(-9) - 48 = 81 - 18 - 48 = 15 > 0$ (знак +) На интервале $(-8; 6)$ можно взять $x = 0$: $(0)^2 + 2(0) - 48 = -48 < 0$ (знак -) На интервале $(6; +\infty)$ можно взять $x = 7$: $(7)^2 + 2(7) - 48 = 49 + 14 - 48 = 15 > 0$ (знак +) * Так как нам нужно $x^2 + 2x - 48 < 0$, выбираем интервал со знаком минус. **Ответ: $x \in (-8; 6)$**