1. Решите неравенство: 54 - 6x^2 / 4x + 7 < 0.

1. Решим неравенство $\frac{54 - 6x^2}{4x + 7} < 0$: - Вынесем общий множитель в числителе: $6(9 - x^2) = 6(3 - x)(3 + x)$. - Неравенство примет вид: $\frac{6(3 - x)(3 + x)}{4x + 7} < 0$. - Разделим на 6: $\frac{(3 - x)(3 + x)}{4x + 7} < 0$. - Найдем нули: числитель равен нулю при $x = 3$ и $x = -3$, знаменатель при $x = -1,75$. - Используем метод интервалов. На промежутке $(-\infty; -3)$ выражение отрицательно, на $(-3; -1,75)$ положительно, на $(-1,75; 3)$ отрицательно, на $(3; +\infty)$ положительно. - Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-1,75; 3)$. 2. Решим уравнение $3^x - (\frac{1}{3})^{2-x} = 24$: - Преобразуем $(\frac{1}{3})^{2-x}$ как $3^{-1(2-x)} = 3^{x-2}$. - Получим: $3^x - 3^{x-2} = 24$. - $3^x - 3^x \cdot 3^{-2} = 24$. - $3^x(1 - \frac{1}{9}) = 24$. - $3^x \cdot \frac{8}{9} = 24$. - $3^x = 24 \cdot \frac{9}{8} = 27$. - $3^x = 3^3$, следовательно $x = 3$. - Ответ: $x = 3$. 3. Решим уравнение $\cos x + \cos (\frac{\pi}{2} - x) + \cos (\pi + x) = 0$: - Применим формулы приведения: $\cos (\frac{\pi}{2} - x) = \sin x$ $\cos (\pi + x) = -\cos x$ - Уравнение примет вид: $\cos x + \sin x - \cos x = 0$. - $\sin x = 0$. - $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$. - Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$. 4. Для изображения графика: - а) Область определения $[-5; 2]$ ограничивает график по оси $Ox$. - б) Множество значений $[-2; 5]$ ограничивает график по оси $Oy$. - в) На промежутках $[-5; -2]$ и $[0; 2]$ функция убывает (график идет вниз). - г) На промежутке $[-2; 0]$ функция возрастает (график идет вверх). - д) Отрицательные значения (график ниже оси $Ox$) функция принимает только на $(1; 2]$. 5. Найдем точки для $f(x) = x^4 - 5x^2 + 1$, где касательная параллельна $Ox$: - Условие параллельности оси $Ox$ — это равенство производной нулю: $f'(x) = 0$. - $f'(x) = 4x^3 - 10x$. - $2x(2x^2 - 5) = 0$. - $x_1 = 0$, $x_2 = \sqrt{2,5}$, $x_3 = -\sqrt{2,5}$. - Найдем $y$ для каждой точки: - $f(0) = 0^4 - 5(0)^2 + 1 = 1 \rightarrow (0; 1)$. - $f(\sqrt{2,5}) = (\sqrt{2,5})^4 - 5(\sqrt{2,5})^2 + 1 = 6,25 - 12,5 + 1 = -5,25 \rightarrow (\sqrt{2,5}; -5,25)$. - $f(-\sqrt{2,5}) = -5,25 \rightarrow (-\sqrt{2,5}; -5,25)$. - Ответ: $(0; 1), (\sqrt{2,5}; -5,25), (-\sqrt{2,5}; -5,25)$.