Реши уравнения: cos 2x + sin²x = 0,75; 6sin²x + 15sin (3π/2 + x) - 12 = 0; 4cos⁴x - 4cos²x + 1 = 0; cos 2x + sin²x = 0,5 и найди корни, принадлежащие заданным отрезкам.

3. а) Решим уравнение $\cos 2x + \sin^2 x = 0{,}75$. Используем формулу $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$. Тогда уравнение примет вид: $$\cos^2 x - \sin^2 x + \sin^2 x = 0{,}75$$ $$\cos^2 x = 0{,}75$$ $$\cos x = \pm \sqrt{0{,}75} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$x = \pm \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$ $$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$ б) Найдем корни, принадлежащие отрезку $[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}]$. $$-3\pi \le -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le -\frac{3\pi}{2}$$ $$-3 \le -\frac{1}{6} + 2k \le -\frac{3}{2}$$ $$-3 + \frac{1}{6} \le 2k \le -\frac{3}{2} + \frac{1}{6}$$ $$-\frac{17}{6} \le 2k \le -\frac{8}{6}$$ $$-\frac{17}{12} \le k \le -\frac{8}{12}$$ $$-1{,}41(6) \le k \le -0,(6)$$ $$k = -1$$ $$x = -\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{13\pi}{6}$$ $$-3\pi \le \frac{\pi}{6} + 2\pi k \le -\frac{3\pi}{2}$$ $$-3 \le \frac{1}{6} + 2k \le -\frac{3}{2}$$ $$-3 - \frac{1}{6} \le 2k \le -\frac{3}{2} - \frac{1}{6}$$ $$-\frac{19}{6} \le 2k \le -\frac{10}{6}$$ $$-\frac{19}{12} \le k \le -\frac{10}{12}$$ $$-1{,}58(3) \le k \le -0{,}8(3)$$ $$k = -1$$ $$x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6}$$ 4. а) Решим уравнение $6\sin^2 x + 15\sin (\frac{3\pi}{2} + x) - 12 = 0$. Учитывая, что $\sin (\frac{3\pi}{2} + x) = -\cos x$, уравнение примет вид: $$6\sin^2 x - 15\cos x - 12 = 0$$ $$6(1 - \cos^2 x) - 15\cos x - 12 = 0$$ $$6 - 6\cos^2 x - 15\cos x - 12 = 0$$ $$-6\cos^2 x - 15\cos x - 6 = 0$$ $$2\cos^2 x + 5\cos x + 2 = 0$$ Пусть $t = \cos x$, тогда: $$2t^2 + 5t + 2 = 0$$ $$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$$ $$t_1 = \frac{-5 + 3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$$ $$t_2 = \frac{-5 - 3}{4} = -\frac{8}{4} = -2$$ Так как $-1 \le \cos x \le 1$, то $t_2 = -2$ не подходит. $$\cos x = -\frac{1}{2}$$ $$x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$ $$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$ б) Найдем корни, принадлежащие отрезку $[-5\pi; -\frac{7\pi}{2}]$. $$-5\pi \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le -\frac{7\pi}{2}$$ $$-5 \le \frac{2}{3} + 2k \le -\frac{7}{2}$$ $$-5 - \frac{2}{3} \le 2k \le -\frac{7}{2} - \frac{2}{3}$$ $$-\frac{17}{3} \le 2k \le -\frac{25}{6}$$ $$-\frac{17}{6} \le k \le -\frac{25}{12}$$ $$-2{,}8(3) \le k \le -2{,}08(3)$$ $$k = -2$$ $$x = \frac{2\pi}{3} - 4\pi = -\frac{10\pi}{3}$$ $$-5\pi \le -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le -\frac{7\pi}{2}$$ $$-5 \le -\frac{2}{3} + 2k \le -\frac{7}{2}$$ $$-5 + \frac{2}{3} \le 2k \le -\frac{7}{2} + \frac{2}{3}$$ $$-\frac{13}{3} \le 2k \le -\frac{17}{6}$$ $$-\frac{13}{6} \le k \le -\frac{17}{12}$$ $$-2{,}1(6) \le k \le -1{,}41(6)$$ $$k = -2$$ $$x = -\frac{2\pi}{3} - 4\pi = -\frac{14\pi}{3}$$ 5. а) Решим уравнение $4\cos^4 x - 4\cos^2 x + 1 = 0$. Пусть $t = \cos^2 x$, тогда: $$4t^2 - 4t + 1 = 0$$ $$(2t - 1)^2 = 0$$ $$2t - 1 = 0$$ $$t = \frac{1}{2}$$ $$\cos^2 x = \frac{1}{2}$$ $$\cos x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$x = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$ $$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$ $$x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$ б) Найдем корни, принадлежащие отрезку $[-2\pi; -\pi]$. $$-2\pi \le \frac{\pi}{4} + 2\pi k \le -\pi$$ $$-2 \le \frac{1}{4} + 2k \le -1$$ $$-2 - \frac{1}{4} \le 2k \le -1 - \frac{1}{4}$$ $$-\frac{9}{4} \le 2k \le -\frac{5}{4}$$ $$-\frac{9}{8} \le k \le -\frac{5}{8}$$ $$-1{,}125 \le k \le -0{,}625$$ $$k = -1$$ $$x = \frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{7\pi}{4}$$ $$-2\pi \le -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \le -\pi$$ $$-2 \le -\frac{1}{4} + 2k \le -1$$ $$-2 + \frac{1}{4} \le 2k \le -1 + \frac{1}{4}$$ $$-\frac{7}{4} \le 2k \le -\frac{3}{4}$$ $$-\frac{7}{8} \le k \le -\frac{3}{8}$$ $$-0{,}875 \le k \le -0{,}375$$ Нет целых решений. $$-2\pi \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le -\pi$$ $$-2 \le \frac{3}{4} + 2k \le -1$$ $$-2 - \frac{3}{4} \le 2k \le -1 - \frac{3}{4}$$ $$-\frac{11}{4} \le 2k \le -\frac{7}{4}$$ $$-\frac{11}{8} \le k \le -\frac{7}{8}$$ $$-1{,}375 \le k \le -0{,}875$$ $$k = -1$$ $$x = \frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{5\pi}{4}$$ $$-2\pi \le -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le -\pi$$ $$-2 \le -\frac{3}{4} + 2k \le -1$$ $$-2 + \frac{3}{4} \le 2k \le -1 + \frac{3}{4}$$ $$-\frac{5}{4} \le 2k \le -\frac{1}{4}$$ $$-\frac{5}{8} \le k \le -\frac{1}{8}$$ $$-0{,}625 \le k \le -0{,}125$$ Нет целых решений. 6. а) Решим уравнение $\cos 2x + \sin^2 x = 0{,}5$. Используем формулу $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$. Тогда уравнение примет вид: $$\cos^2 x - \sin^2 x + \sin^2 x = 0{,}5$$ $$\cos^2 x = 0{,}5$$ $$\cos x = \pm \sqrt{0{,}5} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$x = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$ $$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$ $$x = \pm \frac{7\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$ б) Найдем корни, принадлежащие отрезку $[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi]$. $$-\frac{7\pi}{2} \le \frac{\pi}{4} + 2\pi k \le -2\pi$$ $$-\frac{7}{2} \le \frac{1}{4} + 2k \le -2$$ $$-\frac{7}{2} - \frac{1}{4} \le 2k \le -2 - \frac{1}{4}$$ $$-\frac{15}{4} \le 2k \le -\frac{9}{4}$$ $$-\frac{15}{8} \le k \le -\frac{9}{8}$$ $$-1{,}875 \le k \le -1{,}125$$ $$k = -1$$ $$x = \frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{7\pi}{4}$$ $$-\frac{7\pi}{2} \le -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \le -2\pi$$ $$-\frac{7}{2} \le -\frac{1}{4} + 2k \le -2$$ $$-\frac{7}{2} + \frac{1}{4} \le 2k \le -2 + \frac{1}{4}$$ $$-\frac{13}{4} \le 2k \le -\frac{7}{4}$$ $$-\frac{13}{8} \le k \le -\frac{7}{8}$$ $$-1{,}625 \le k \le -0{,}875$$ $$k = -1$$ $$x = -\frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{9\pi}{4}$$ $$-\frac{7\pi}{2} \le \frac{7\pi}{4} + 2\pi k \le -2\pi$$ $$-\frac{7}{2} \le \frac{7}{4} + 2k \le -2$$ $$-\frac{7}{2} - \frac{7}{4} \le 2k \le -2 - \frac{7}{4}$$ $$-\frac{21}{4} \le 2k \le -\frac{15}{4}$$ $$-\frac{21}{8} \le k \le -\frac{15}{8}$$ $$-2{,}625 \le k \le -1{,}875$$ $$k = -2$$ $$x = \frac{7\pi}{4} - 4\pi = -\frac{9\pi}{4}$$ $$-\frac{7\pi}{2} \le -\frac{7\pi}{4} + 2\pi k \le -2\pi$$ $$-\frac{7}{2} \le -\frac{7}{4} + 2k \le -2$$ $$-\frac{7}{2} + \frac{7}{4} \le 2k \le -2 + \frac{7}{4}$$ $$-\frac{7}{4} \le 2k \le -\frac{1}{4}$$ $$-\frac{7}{8} \le k \le -\frac{1}{8}$$ $$-0{,}875 \le k \le -0{,}125$$ Нет целых решений. **Ответ:** 3. а) $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ б) $x = -\frac{13\pi}{6}, -\frac{11\pi}{6}$ 4. а) $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ б) $x = -\frac{10\pi}{3}, -\frac{14\pi}{3}$ 5. а) $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$, $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ б) $x = -\frac{7\pi}{4}, -\frac{5\pi}{4}$ 6. а) $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$, $x = \pm \frac{7\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ б) $x = -\frac{7\pi}{4}, -\frac{9\pi}{4}$