Как доказать тождество: (sin α + sin 3α) / (cos α + cos 3α) = tg 2α?

Конечно, давай докажем тождество из твоего задания. Нам нужно показать, что $\frac{\sin \alpha + \sin 3\alpha}{\cos \alpha + \cos 3\alpha} = \text{tg } 2\alpha$.\n Сначала вспомним формулы для суммы синусов и суммы косинусов: $$\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$$ $$\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$$ Применим эти формулы к левой части нашего тождества: $$\frac{\sin \alpha + \sin 3\alpha}{\cos \alpha + \cos 3\alpha} = \frac{2 \sin \frac{\alpha + 3\alpha}{2} \cos \frac{\alpha - 3\alpha}{2}}{2 \cos \frac{\alpha + 3\alpha}{2} \cos \frac{\alpha - 3\alpha}{2}}$$ Упростим выражение: $$\frac{2 \sin 2\alpha \cos(-\alpha)}{2 \cos 2\alpha \cos(-\alpha)}$$ Так как $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$, можем сократить косинусы: $$\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}$$ А это, как мы знаем, и есть тангенс двойного угла: $$\text{tg } 2\alpha$$ Таким образом, мы доказали, что $\frac{\sin \alpha + \sin 3\alpha}{\cos \alpha + \cos 3\alpha} = \text{tg } 2\alpha$. Надеюсь, теперь тебе всё понятно! Если что, спрашивай ещё!