Ты просишь найти все корни уравнения cos2x = -1/2 на отрезке [π/2; 5π/2]

Привет! Давай решим это уравнение вместе. Чтобы решить уравнение $\cos(2x) = -\frac{1}{2}$, нам нужно найти все значения $x$ на отрезке $\left[\frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}\right]$. 1. **Решаем уравнение без ограничений:** $\cos(2x) = -\frac{1}{2}$ Мы знаем, что $\cos(\theta) = -\frac{1}{2}$ при $\theta = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ и $\theta = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k$ - целое число. Тогда: $2x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ или $2x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$ Делим на 2: $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$ или $x = \frac{2\pi}{3} + \pi k$ 2. **Находим корни на заданном отрезке:** Нам нужно найти значения $k$, при которых $x$ попадает в отрезок $\left[\frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}\right]$. * Для $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$: $\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{3} + \pi k \le \frac{5\pi}{2}$ Делим на $\pi$: $\frac{1}{2} \le \frac{1}{3} + k \le \frac{5}{2}$ Вычитаем $\frac{1}{3}$: $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} \le k \le \frac{5}{2} - \frac{1}{3}$ $\frac{1}{6} \le k \le \frac{13}{6}$ Целые значения $k$: $k = 1, 2$ $x = \frac{\pi}{3} + \pi \cdot 1 = \frac{4\pi}{3}$ $x = \frac{\pi}{3} + \pi \cdot 2 = \frac{7\pi}{3}$ * Для $x = \frac{2\pi}{3} + \pi k$: $\frac{\pi}{2} \le \frac{2\pi}{3} + \pi k \le \frac{5\pi}{2}$ Делим на $\pi$: $\frac{1}{2} \le \frac{2}{3} + k \le \frac{5}{2}$ Вычитаем $\frac{2}{3}$: $\frac{1}{2} - \frac{2}{3} \le k \le \frac{5}{2} - \frac{2}{3}$ $-\frac{1}{6} \le k \le \frac{11}{6}$ Целые значения $k$: $k = 0, 1$ $x = \frac{2\pi}{3} + \pi \cdot 0 = \frac{2\pi}{3}$ $x = \frac{2\pi}{3} + \pi \cdot 1 = \frac{5\pi}{3}$ 3. **Ответ:** Корни уравнения на заданном отрезке: $\frac{4\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$. **Ответ: $\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}$**