Можешь помочь выполнить действия: (1/(a²-b²) + b/(a³+b³)) : a²/(a⁶-b⁶)?

Конечно, давай решим эти примеры вместе! 1) $\left(\frac{1}{a^2-b^2} + \frac{b}{a^3+b^3}\right) : \frac{a^2}{a^6-b^6}$ Прежде всего, упростим выражение в скобках. Для этого нужно привести дроби к общему знаменателю. Заметим, что $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ и $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - a b + b^2)$. Тогда общий знаменатель будет $(a - b)(a + b)(a^2 - a b + b^2)$. $\frac{1}{(a-b)(a+b)} + \frac{b}{(a+b)(a^2-ab+b^2)} = \frac{a^2-ab+b^2 + b(a-b)}{(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)} = \frac{a^2-ab+b^2 + ab - b^2}{(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)} = \frac{a^2}{(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)}$ Теперь разберёмся с делением: $\frac{a^2}{a^6-b^6}$. Заметим, что $a^6 - b^6 = (a^3 - b^3)(a^3 + b^3) = (a - b)(a^2 + ab + b^2)(a + b)(a^2 - ab + b^2)$. Тогда выражение примет вид: $\frac{a^2}{(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)} : \frac{a^2}{(a - b)(a^2 + ab + b^2)(a + b)(a^2 - ab + b^2)} = \frac{a^2}{(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)} \cdot \frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)(a + b)(a^2 - ab + b^2)}{a^2} = a^2 + ab + b^2$ 2) $\left(\frac{6a}{a^2-4b^2} + \frac{2}{2b-a} - \frac{4}{2b+a}\right) : \left(1 + \frac{a^2+4b^2}{4b^2-a^2}\right)$ Сначала упростим выражение в скобках. Заметим, что $a^2 - 4b^2 = (a - 2b)(a + 2b)$. Тогда: $\frac{6a}{(a-2b)(a+2b)} + \frac{2}{2b-a} - \frac{4}{2b+a} = \frac{6a}{(a-2b)(a+2b)} - \frac{2}{a-2b} - \frac{4}{2b+a} = \frac{6a - 2(a+2b) - 4(a-2b)}{(a-2b)(a+2b)} = \frac{6a - 2a - 4b - 4a + 8b}{(a-2b)(a+2b)} = \frac{4b}{(a-2b)(a+2b)}$ Теперь упростим выражение во второй скобке: $1 + \frac{a^2+4b^2}{4b^2-a^2} = 1 - \frac{a^2+4b^2}{a^2-4b^2} = \frac{a^2-4b^2 - a^2 - 4b^2}{a^2-4b^2} = \frac{-8b^2}{(a-2b)(a+2b)}$ Тогда выражение примет вид: $\frac{4b}{(a-2b)(a+2b)} : \frac{-8b^2}{(a-2b)(a+2b)} = \frac{4b}{(a-2b)(a+2b)} \cdot \frac{(a-2b)(a+2b)}{-8b^2} = -\frac{1}{2b}$ 3) $\left(\frac{y}{x^3-x^2y+xy^2} + \frac{x-2y}{x^3+y^3}\right) \cdot \frac{x^3 - xy^2}{x^2+y^2} + \frac{2y^2}{x^3+x^2y+xy^2+y^3}$ Сначала упростим выражение в скобках. Заметим, что $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - x y + y^2)$ и $x^3-x^2y+xy^2 = x(x^2 - x y + y^2)$. Тогда общий знаменатель будет $x(x + y)(x^2 - x y + y^2)$. $\frac{y}{x(x^2-xy+y^2)} + \frac{x-2y}{(x+y)(x^2-xy+y^2)} = \frac{y(x+y) + x(x-2y)}{x(x+y)(x^2-xy+y^2)} = \frac{xy+y^2 + x^2 - 2xy}{x(x+y)(x^2-xy+y^2)} = \frac{x^2 - xy + y^2}{x(x+y)(x^2-xy+y^2)} = \frac{1}{x(x+y)}$ Теперь разберёмся с умножением: $\frac{x^3 - xy^2}{x^2+y^2} = \frac{x(x^2 - y^2)}{x^2+y^2} = \frac{x(x - y)(x + y)}{x^2+y^2}$. Тогда первая часть выражения примет вид: $\frac{1}{x(x+y)} \cdot \frac{x(x - y)(x + y)}{x^2+y^2} = \frac{x - y}{x^2+y^2}$ Теперь упростим вторую часть выражения: $\frac{2y^2}{x^3+x^2y+xy^2+y^3}$. Заметим, что $x^3+x^2y+xy^2+y^3 = (x^3 + y^3) + (x^2y + xy^2) = (x + y)(x^2 - x y + y^2) + xy(x + y) = (x + y)(x^2 + y^2)$. Тогда вторая часть выражения примет вид: $\frac{2y^2}{(x+y)(x^2+y^2)}$ Сложим обе части: $\frac{x - y}{x^2+y^2} + \frac{2y^2}{(x+y)(x^2+y^2)} = \frac{(x - y)(x + y) + 2y^2}{(x+y)(x^2+y^2)} = \frac{x^2 - y^2 + 2y^2}{(x+y)(x^2+y^2)} = \frac{x^2 + y^2}{(x+y)(x^2+y^2)} = \frac{1}{x+y}$ Вот и всё! Если тебе что-то непонятно, не стесняйся спрашивать!