Ты просишь меня решить несколько задач, связанных с квадратными корнями: найти значения выражений, определить рациональные и иррациональные числа, привести контрпримеры для утверждений, сравнить точки на координатной прямой и решить уравнения с квадратными корнями.

297. Давай найдём значения этих корней, используя таблицу квадратов натуральных чисел. Это как разложение числа на множители, чтобы понять, какое число в квадрате даёт то, что под корнем: а) $\sqrt{225} = 15$, $\sqrt{169} = 13$, $\sqrt{324} = 18$, $\sqrt{361} = 19$; б) $\sqrt{1,44} = 1,2$, $\sqrt{3,24} = 1,8$, $\sqrt{2,56} = 1,6$, $\sqrt{2,25} = 1,5$; в) $\sqrt{576} = 24$, $\sqrt{1764} = 42$, $\sqrt{3721} = 61$, $\sqrt{7396} = 86$; г) $\sqrt{7,29} = 2,7$, $\sqrt{13,69} = 3,7$, $\sqrt{56,25} = 7,5$, $\sqrt{77,44} = 8,8$. 298. Теперь определим, какие из чисел рациональные, а какие иррациональные. Рациональные числа можно представить в виде дроби, а иррациональные – нельзя. Обычно это корни, которые не извлекаются нацело: $\sqrt{0,04} = 0,2$ (рациональное), $\sqrt{0,025} = 0,15811...$ (иррациональное), $\sqrt{0,4} = 0,63245...$ (иррациональное), $\sqrt{1,21} = 1,1$ (рациональное), $\sqrt{6,4} = 2,5298...$ (иррациональное), $\sqrt{0,0036} = 0,06$ (рациональное), $\sqrt{0,256} = 0,50596...$ (иррациональное), $\sqrt{0,16} = 0,4$ (рациональное), $\sqrt{0,000001} = 0,001$ (рациональное), $\sqrt{52,9} = 7,272...$ (иррациональное). 299. Приведём контрпримеры: а) Пусть $n = 2$, тогда $\sqrt{11 - n} = \sqrt{11 - 2} = \sqrt{9} = 3$ — рациональное число. б) Пусть $n = -2$, тогда $\sqrt{25 - n} = \sqrt{25 - (-2)} = \sqrt{27} = 5,196...$ — иррациональное число. 300. Разберёмся, какая точка ближе к нулю: а) $A(\sqrt{15,21}) \approx A(3,9)$, $B(-\sqrt{16}) = B(-4)$. Точка A ближе к нулю. б) $A(\sqrt{2\frac{7}{9}}) = A(\sqrt{\frac{25}{9}}) = A(\frac{5}{3}) \approx A(1,67)$, $B(-\sqrt{\frac{13}{36}}) \approx B(-0,6)$. Точка B ближе к нулю. 301. Определим, какие выражения имеют смысл. Помни, что корень из отрицательного числа не существует (если мы говорим только о реальных числах): а) $\sqrt{100} = 10$ (имеет смысл); б) $\sqrt{-100}$ (не имеет смысла, так как под корнем отрицательное число); в) $-\sqrt{100} = -10$ (имеет смысл, минус стоит перед корнем); г) $(\sqrt{-10})^2$ (не имеет смысла, так как под корнем отрицательное число); д) $\sqrt{(-25) \cdot (-4)} = \sqrt{100} = 10$ (имеет смысл); е) $\sqrt{-25 \cdot 4} = \sqrt{-100}$ (не имеет смысла, так как под корнем отрицательное число). 302. Теперь найдём числа, арифметический квадратный корень из которых равен заданным значениям. Для этого просто возведём каждое число в квадрат: $0^2 = 0$; $1^2 = 1$; $3^2 = 9$; $10^2 = 100$; $0,6^2 = 0,36$. 303. Решим уравнения, чтобы найти значение переменной $x$: а) $\sqrt{x} = 4$. Возведём обе части в квадрат: $x = 16$; б) $\sqrt{x} = 0,5$. Возведём обе части в квадрат: $x = 0,25$; в) $2\sqrt{x} = 0$. Разделим обе части на 2: $\sqrt{x} = 0$, значит, $x = 0$; г) $4\sqrt{x} = 1$. Разделим обе части на 4: $\sqrt{x} = \frac{1}{4}$, значит, $x = \frac{1}{16}$; д) $\sqrt{x - 8} = 0$. Возведём обе части в квадрат: $x - 8 = 0$, значит, $x = 8$; е) $3\sqrt{x} - 2 = 0$. Перенесём 2 вправо: $3\sqrt{x} = 2$. Разделим обе части на 3: $\sqrt{x} = \frac{2}{3}$, значит, $x = \frac{4}{9}$. 304. Выясним, существует ли значение переменной $x$: а) $\sqrt{x} = 0,1$. Да, $x = 0,01$; б) $\sqrt{x} = -10$. Нет, корень не может быть отрицательным; в) $\sqrt{x + 1} = 0$. Да, $x = -1$; г) $\sqrt{x - 3} = 0$. Да, $x = 3$. 305. И последнее, определим, при каком значении $x$ верно равенство: а) $\sqrt{x} = 11$. Возведём обе части в квадрат: $x = 121$; б) $10\sqrt{x} = 3$. Разделим обе части на 10: $\sqrt{x} = 0,3$, значит, $x = 0,09$; в) $\sqrt{x} = -20$. Нет решения, корень не может быть отрицательным; г) $2\sqrt{x} - 1 = 0$. Перенесём 1 вправо: $2\sqrt{x} = 1$. Разделим обе части на 2: $\sqrt{x} = \frac{1}{2}$, значит, $x = \frac{1}{4}$; д) $5 - \sqrt{x} = 0$. Перенесём корень вправо: $5 = \sqrt{x}$, значит, $x = 25$; е) $2 + \sqrt{x} = 0$. Перенесём 2 вправо: $\sqrt{x} = -2$. Нет решения, корень не может быть отрицательным.