Можешь доказать, что если векторы AB и CD равны, то середины отрезков AD и BС совпадают? Докажи обратное утверждение: если середины отрезков AD и BC совпадают, то AB= CD.

Привет! Давай докажем эти утверждения. **Прямое утверждение:** Если векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равны, то середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают. Пусть $E$ - середина $AD$, а $F$ - середина $BC$. Тогда, используя радиус-векторы точек, можно записать: $\vec{OE} = \frac{\vec{OA} + \vec{OD}}{2}$ $\vec{OF} = \frac{\vec{OB} + \vec{OC}}{2}$ Чтобы доказать, что точки $E$ и $F$ совпадают, нужно показать, что $\vec{OE} = \vec{OF}$. Так как $\vec{AB} = \vec{CD}$, то $\vec{OB} - \vec{OA} = \vec{OD} - \vec{OC}$. Перегруппируем это равенство: $\vec{OA} + \vec{OD} = \vec{OB} + \vec{OC}$ Разделим обе части на 2: $\frac{\vec{OA} + \vec{OD}}{2} = \frac{\vec{OB} + \vec{OC}}{2}$ То есть, $\vec{OE} = \vec{OF}$, что означает, что середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают. **Обратное утверждение:** Если середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают, то $\vec{AB} = \vec{CD}$. Пусть $E$ - общая середина отрезков $AD$ и $BC$. Тогда $\vec{OE} = \frac{\vec{OA} + \vec{OD}}{2}$ и $\vec{OE} = \frac{\vec{OB} + \vec{OC}}{2}$. Следовательно, $\frac{\vec{OA} + \vec{OD}}{2} = \frac{\vec{OB} + \vec{OC}}{2}$. Умножим обе части на 2: $\vec{OA} + \vec{OD} = \vec{OB} + \vec{OC}$ Перегруппируем векторы, чтобы выразить $\vec{OB} - \vec{OA}$: $\vec{OB} - \vec{OA} = \vec{OD} - \vec{OC}$ Так как $\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$ и $\vec{CD} = \vec{OD} - \vec{OC}$, то $\vec{AB} = \vec{CD}$. Оба утверждения доказаны!