Точка движется в плоскости XOY. Вектор r, модуль которого равен 1 м, направлен под углом 30° к оси X. Чему равны проекции вектора r на оси X и Y?

Привет! Давай разберёмся с этими задачами по физике. Всё не так сложно, как кажется! **A1.** Точка движется в плоскости XOY. У нас есть вектор $\vec{r}$ длиной (модулем) 1 м, который направлен под углом 30° к оси X. Нам нужно найти его проекции на оси X и Y. Проекция — это как бы «тень» вектора на ось. Чтобы найти её, используем простые формулы с косинусом и синусом: * Проекция на ось X: $r_x = r \cdot \cos(\alpha)$ * Проекция на ось Y: $r_y = r \cdot \sin(\alpha)$ Подставляем наши значения: модуль $r=1$ м и угол $\alpha=30°$. $$r_x = 1 \cdot \cos(30°) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.87 \text{ м}$$ $$r_y = 1 \cdot \sin(30°) = 1 \cdot 0.5 = 0.5 \text{ м}$$ Получились проекции 0,87 на ось X и 0,5 на ось Y. **Правильный ответ: 3** **A2.** Эта задача очень похожа на предыдущую. Модуль вектора $\vec{r}$ равен 2 м, а угол $\alpha$ к оси X — 135°. Используем те же формулы: $$r_x = r \cdot \cos(\alpha) = 2 \cdot \cos(135°)$$ $$r_y = r \cdot \sin(\alpha) = 2 \cdot \sin(135°)$$ Угол 135° находится во второй координатной четверти, поэтому его косинус будет отрицательным, а синус — положительным. * $\cos(135°) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707$ * $\sin(135°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$ Теперь считаем проекции: $$r_x = 2 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\sqrt{2} \approx -1.41 \text{ м}$$ $$r_y = 2 \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \approx 1.41 \text{ м}$$ Проекции равны -1,41 и 1,41. **Правильный ответ: 4** **A3.** Начальное положение точки задано вектором $\vec{r}(3; 0)$. Это значит, её начальные координаты $x=3$ и $y=0$. Затем координата $y$ изменилась и стала равна 4. Про координату $x$ ничего не сказано, значит, она осталась прежней: $x=3$. Новое положение точки — $(3; 4)$. Нам нужно найти модуль (длину) вектора, который указывает на эту точку. Модуль вектора с координатами $(x; y)$ ищется по теореме Пифагора: $$|\vec{r}| = \sqrt{x^2 + y^2}$$ Подставляем наши новые координаты: $$|\vec{r}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ м}$$ **Правильный ответ: 2** **A4.** Давай посмотрим, как двигалась точка. * Начальные координаты: $(4; 0; 0)$. * Конечные координаты через время $t$: $(4; 0; 3)$. Что мы видим? - Координата $x$ не изменилась, она всё время была равна 4. Значит, уравнение для неё $x = 4$. - Координата $y$ тоже не изменилась, она осталась равной 0. Уравнение для неё $y = 0$. - Координата $z$ изменилась с 0 до 3. Это значит, что она зависела от времени. Мы можем записать это как $z = z(t)$. Собираем всё вместе: движение точки описывается системой уравнений: $x = 4$, $y = 0$, $z = z(t)$. **Правильный ответ: 4** **A5.** Точка двигалась по прямой из начального положения $\vec{r}_0(3; 0)$ в конечное $\vec{r}(0; 3)$. Чтобы найти направление движения, нужно найти вектор перемещения $\Delta\vec{r}$. Он равен разности конечного и начального векторов: $$\Delta\vec{r} = \vec{r} - \vec{r}_0$$ Найдём его координаты: * $\Delta x = x_{конечное} - x_{начальное} = 0 - 3 = -3$ * $\Delta y = y_{конечное} - y_{начальное} = 3 - 0 = 3$ Итак, вектор перемещения имеет координаты $(-3; 3)$. Теперь найдём угол $\phi$, который этот вектор образует с осью OX. Вектор с отрицательной координатой $x$ и положительной $y$ находится во второй координатной четверти. Тангенс угла наклона вектора к оси ОХ равен отношению его $y$-координаты к $x$-координате: $$\tan(\phi) = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{3}{-3} = -1$$ Угол во второй четверти, тангенс которого равен -1, — это 135°. **Правильный ответ: 3**