Возрастающей или убывающей является функция: y = 9x-4?

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями по алгебре. Я помогу тебе всё понять! ### Задание 259. Возрастающей или убывающей является функция Чтобы определить, возрастает или убывает линейная функция вида $y = kx + b$, нужно посмотреть на число $k$, которое стоит перед $x$. - Если $k > 0$ (положительное), функция **возрастает**. - Если $k < 0$ (отрицательное), функция **убывает**. 1) $y = 9x - 4$. Здесь $k=9$. Так как $9 > 0$, функция **возрастающая**. 2) $y = -4x + 10$. Здесь $k=-4$. Так как $-4 < 0$, функция **убывающая**. 3) $y = 12 - 3x$. Это то же самое, что $y = -3x + 12$. Здесь $k=-3$. Так как $-3 < 0$, функция **убывающая**. 4) $y = -x$. Это то же самое, что $y = -1x$. Здесь $k=-1$. Так как $-1 < 0$, функция **убывающая**. 5) $y = \frac{1}{6}x$. Здесь $k=\frac{1}{6}$. Так как $\frac{1}{6} > 0$, функция **возрастающая**. 6) $y = 1 - 0,3x$. Это то же самое, что $y = -0,3x + 1$. Здесь $k=-0,3$. Так как $-0,3 < 0$, функция **убывающая**. ### Задание 260. Найдите нули функции Нули функции — это такие значения $x$, при которых функция равна нулю. Чтобы их найти, нужно приравнять выражение к нулю и решить уравнение. 1) $f(x) = 0,2x + 3$ $$0,2x + 3 = 0$$ $$0,2x = -3$$ $$x = -\frac{3}{0,2} = -15$$ **Ответ: -15** 2) $g(x) = 35 - 2x - x^2$ $$-x^2 - 2x + 35 = 0$$ $$x^2 + 2x - 35 = 0$$ Решаем через дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144 = 12^2$ $$x_1 = \frac{-2 + 12}{2} = 5$$ $$x_2 = \frac{-2 - 12}{2} = -7$$ **Ответ: -7; 5** 3) $\varphi(x) = \sqrt{x+3}$ $$\sqrt{x+3} = 0$$ $$x+3=0$$ $$x=-3$$ **Ответ: -3** 4) $h(x) = \frac{x^2 - x - 6}{x+3}$ Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. $$x^2 - x - 6 = 0$$ $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 = 5^2$ $$x_1 = \frac{1 + 5}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{1 - 5}{2} = -2$$ Проверяем знаменатель: $x+3 \neq 0$, значит $x \neq -3$. Наши корни подходят. **Ответ: -2; 3** 5) $f(x) = x^3 - 4x$ $$x^3 - 4x = 0$$ $$x(x^2 - 4) = 0$$ $$x(x-2)(x+2) = 0$$ **Ответ: -2; 0; 2** 6) $f(x) = x^2 + 1$ $$x^2 + 1 = 0$$ $$x^2 = -1$$ У этого уравнения нет действительных корней, потому что квадрат числа не может быть отрицательным. **Ответ: нулей нет** ### Задание 261. Найдите нули функции 1) $f(x) = \frac{1}{3}x + 12$ $$\frac{1}{3}x + 12 = 0$$ $$\frac{1}{3}x = -12$$ $$x = -12 \cdot 3 = -36$$ **Ответ: -36** 2) $f(x) = 6x^2 + 5x + 1$ $$6x^2 + 5x + 1 = 0$$ $D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$ $$x_1 = \frac{-5 + 1}{12} = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3}$$ $$x_2 = \frac{-5 - 1}{12} = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}$$ **Ответ: -1/2; -1/3** 3) $f(x) = \sqrt{x^2 - 4}$ $$\sqrt{x^2 - 4} = 0$$ $$x^2 - 4 = 0$$ $$(x-2)(x+2) = 0$$ **Ответ: -2; 2** 4) $f(x) = -5$ Функция всегда равна -5 и никогда не равна нулю. **Ответ: нулей нет** 5) $f(x) = \frac{3 - 0,2x}{x+1}$ $$3 - 0,2x = 0$$ $$0,2x = 3$$ $$x = \frac{3}{0,2} = 15$$ Знаменатель при $x=15$ не равен нулю ($15+1=16$), значит, корень подходит. **Ответ: 15** 6) $f(x) = x^2 - x$ $$x^2 - x = 0$$ $$x(x-1) = 0$$ **Ответ: 0; 1** ### Задание 262. Найдите промежутки знакопостоянства функции Здесь нужно найти, где функция больше нуля ($y>0$), а где меньше ($y<0$). 1) $y = 5x - 15$ Нуль функции: $5x-15=0 \implies x=3$. - Если $x > 3$, например $x=4$, то $y = 5(4)-15=5 > 0$. - Если $x < 3$, например $x=0$, то $y = 5(0)-15=-15 < 0$. **Ответ: $y>0$ при $x \in (3; +\infty)$; $y<0$ при $x \in (-\infty; 3)$** 2) $y = -7x - 28$ Нуль функции: $-7x-28=0 \implies x=-4$. - Если $x > -4$, например $x=0$, то $y = -7(0)-28=-28 < 0$. - Если $x < -4$, например $x=-5$, то $y = -7(-5)-28=7 > 0$. **Ответ: $y>0$ при $x \in (-\infty; -4)$; $y<0$ при $x \in (-4; +\infty)$** 3) $y = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$ Нуль функции: $(x-1)^2=0 \implies x=1$. Квадрат выражения всегда больше или равен нулю. **Ответ: $y>0$ при $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. Отрицательных значений нет.** 4) $y = \frac{9}{3-x}$ Функция не определена при $x=3$. Нулей нет. - Если $x < 3$, например $x=0$, то $y = \frac{9}{3-0}=3 > 0$. - Если $x > 3$, например $x=4$, то $y = \frac{9}{3-4}=-9 < 0$. **Ответ: $y>0$ при $x \in (-\infty; 3)$; $y<0$ при $x \in (3; +\infty)$** ### Задание 263. Найдите промежутки знакопостоянства функции 1) $y = -4x + 8$ Нуль функции: $-4x+8=0 \implies x=2$. - Если $x > 2$, например $x=3$, то $y = -4(3)+8 = -4 < 0$. - Если $x < 2$, например $x=0$, то $y = -4(0)+8 = 8 > 0$. **Ответ: $y>0$ при $x \in (-\infty; 2)$; $y<0$ при $x \in (2; +\infty)$** 2) $y = -x^2 - 1$ Нулей нет, так как $-x^2-1=0 \implies x^2=-1$. Возьмём любую точку, например $x=0$. $y = -0^2-1 = -1 < 0$. Значит, функция всегда отрицательна. **Ответ: $y<0$ при $x \in (-\infty; +\infty)$** 3) $y = \sqrt{x+...}$ (условие обрезано) **Допущение:** пусть функция $y = \sqrt{x+1}$. Корень определён при $x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$. Значение квадратного корня всегда неотрицательно ($y \ge 0$). Нуль функции при $x=-1$. **Ответ: $y>0$ при $x \in (-1; +\infty)$** ### Задание 264 2) Начертить график функции с нулями $-4, -1, 0, 4$. Это значит, что график должен пересекать ось X в точках -4, -1, 0 и 4. Можно нарисовать плавную волнистую линию, которая проходит через эти точки. Например, она может идти сверху, пересечь ось в точке -4, уйти вниз, потом подняться и пересечь ось в точке -1, снова уйти вверх, потом опуститься и пересечь ось в точке 0, и, наконец, снова подняться и пересечь ось в точке 4, уходя вверх.