Какие из следующих величин являются векторными: скорость, масса, сила, время, температура, длина, площадь, работа?

Привет! Давай разберёмся с этими задачами по векторам. Это очень интересная тема! ### Задача 744 Векторные величины — это те, у которых есть не только значение (величина), но и направление. Скалярные величины имеют только значение. Давай посмотрим на твой список: * **Скорость**: имеет и величину, и направление (например, 60 км/ч на север). Это вектор. * **Масса**: имеет только величину (например, 5 кг). Это скаляр. * **Сила**: имеет и величину, и направление (например, толкнуть стул с силой 10 Ньютонов вперёд). Это вектор. * **Время**: имеет только величину (например, 30 секунд). Это скаляр. * **Температура**: имеет только величину (например, 20°C). Это скаляр. * **Длина**: имеет только величину (например, 2 метра). Это скаляр. * **Площадь**: имеет только величину (например, 15 м²). Это скаляр. * **Работа**: имеет только величину (например, 200 Джоулей). Это скаляр. **Ответ:** Векторными величинами являются **скорость** и **сила**. ### Задача 745 Длина вектора — это просто расстояние между его начальной и конечной точками. Для прямоугольника $ABCD$ со сторонами $AB = 3$ см и $BC = 4$ см, и точкой $M$ — серединой $AB$, найдём длины векторов: * $|\vec{AB}| = 3$ см (по условию). * $|\vec{BC}| = 4$ см (по условию). * $|\vec{DC}| = AB = 3$ см (противоположные стороны прямоугольника равны). * $|\vec{MA}| = AB / 2 = 3 / 2 = 1.5$ см ($M$ — середина $AB$). * $|\vec{CB}| = BC = 4$ см (длина отрезка не зависит от направления). * $|\vec{AC}|$ — диагональ. Найдём по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$: $$|\vec{AC}| = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}$$ * $|\vec{MC}|$ — найдём по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $MBC$. Мы знаем, что $MB = 1.5$ см. $$|\vec{MC}| = \sqrt{MB^2 + BC^2} = \sqrt{1.5^2 + 4^2} = \sqrt{2.25 + 16} = \sqrt{18.25} \text{ см}$$ **Ответ:** $|\vec{AB}|=3$ см, $|\vec{BC}|=4$ см, $|\vec{DC}|=3$ см, $|\vec{MC}|=\sqrt{18.25}$ см, $|\vec{MA}|=1.5$ см, $|\vec{CB}|=4$ см, $|\vec{AC}|=5$ см. ### Задача 746 В прямоугольной трапеции $ABCD$ с $\angle A = 90^\circ$ и $\angle D = 45^\circ$, проведём высоту $CH$ к основанию $AD$. У нас получится прямоугольник $ABCH$ и прямоугольный треугольник $CHD$. * Высота $CH$ равна стороне $AB$, то есть $CH = 5$ см. * В треугольнике $CHD$ угол $H = 90^\circ$ и угол $D = 45^\circ$, значит, он равнобедренный. Получаем $HD = CH = 5$ см. * Так как $AD = 12$ см, то $AH = AD - HD = 12 - 5 = 7$ см. Теперь найдём длины векторов: * $|\vec{BD}|$ — диагональ. Найдём по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABD$: $$|\vec{BD}| = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ см}$$ * $|\vec{CD}|$ — боковая сторона. Найдём по теореме Пифагора для треугольника $CHD$: $$|\vec{CD}| = \sqrt{CH^2 + HD^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \text{ см}$$ * $|\vec{AC}|$ — вторая диагональ. Найдём её по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $AHC$ (угол $H$ в нём прямой). Его катеты $AH=7$ см и $CH=5$ см. $$|\vec{AC}| = \sqrt{AH^2 + CH^2} = \sqrt{7^2 + 5^2} = \sqrt{49 + 25} = \sqrt{74} \text{ см}$$ **Ответ:** $|\vec{BD}|=13$ см, $|\vec{CD}|=5\sqrt{2}$ см, $|\vec{AC}|=\sqrt{74}$ см. ### Задача 747 Коллинеарные векторы лежат на параллельных прямых. Они бывают сонаправленные (смотрят в одну сторону, $\uparrow\uparrow$) и противоположно направленные (смотрят в разные стороны, $\uparrow\downarrow$). а) **Параллелограмм MNPQ** (противоположные стороны параллельны): * Сонаправленные: $\vec{MN} \uparrow\uparrow \vec{QP}$; $\vec{NM} \uparrow\uparrow \vec{PQ}$; $\vec{MQ} \uparrow\uparrow \vec{NP}$; $\vec{QM} \uparrow\uparrow \vec{PN}$. * Противоположно направленные: $\vec{MN} \uparrow\downarrow \vec{PQ}$; $\vec{NM} \uparrow\downarrow \vec{QP}$; $\vec{MQ} \uparrow\downarrow \vec{PN}$; $\vec{QM} \uparrow\downarrow \vec{NP}$. б) **Трапеция ABCD** (параллельны только основания $AD$ и $BC$): * Сонаправленные: $\vec{AD} \uparrow\uparrow \vec{BC}$; $\vec{DA} \uparrow\uparrow \vec{CB}$. * Противоположно направленные: $\vec{AD} \uparrow\downarrow \vec{CB}$; $\vec{DA} \uparrow\downarrow \vec{BC}$. в) **Треугольник FGH** (нет параллельных сторон): * Нет пар коллинеарных векторов. ### Задача 748 Чтобы векторы были равны, у них должны быть **одинаковые длина и направление**. а) $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$: В параллелограмме $AB$ параллельна и равна $DC$. Направление от $A$ к $B$ такое же, как от $D$ к $C$. **Да, равны.** б) $\vec{BC}$ и $\vec{DA}$: Стороны $BC$ и $DA$ параллельны и равны. Но направление от $B$ к $C$ противоположно направлению от $D$ к $A$. **Нет, не равны.** (Это противоположные векторы). в) $\vec{AO}$ и $\vec{OC}$: Диагонали в точке пересечения $O$ делятся пополам, значит, длины $AO$ и $OC$ равны. Направление от $A$ к $O$ и от $O$ к $C$ совпадает. **Да, равны.** г) $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$: Это диагонали. У них разное направление и, как правило, разная длина. **Нет, не равны.**