Вычисли без калькулятора, как можно экономно: а) 357 + 17999 + 1

Привет! Давай разберём домашнее задание. ### Задание №1. Вычисли без калькулятора, как можно экономно. Это значит, что нужно посчитать всё в уме или столбиком, стараясь найти самые простые способы для вычислений. а) $357 + 17999 + 1$ Сначала сложим те числа, которые легко складывать: $17999 + 1 = 18000$. Теперь прибавим к этому числу $357$: $18000 + 357 = 18357$. **Ответ: 18357** б) $468 + 17999$ Можно $17999$ представить как $18000 - 1$. Тогда $468 + 18000 - 1 = 18468 - 1 = 18467$. **Ответ: 18467** в) $899 + 1343 + 101$ Можно сгруппировать числа так, чтобы получились круглые: $899 + 101 = 1000$. Теперь прибавим $1343$: $1000 + 1343 = 2343$. **Ответ: 2343** г) $\frac{15 \cdot 35 \cdot 63 \cdot 27}{9 \cdot 25 \cdot 49 \cdot 81}$ Здесь мы можем сокращать числа в дроби. Давай разложим каждое число на множители или найдём общие множители: $15 = 3 \cdot 5$ $35 = 5 \cdot 7$ $63 = 7 \cdot 9$ $27 = 3 \cdot 9$ $9 = 9$ $25 = 5 \cdot 5$ $49 = 7 \cdot 7$ $81 = 9 \cdot 9$ Подставим эти множители в дробь: $$ \frac{(3 \cdot 5) \cdot (5 \cdot 7) \cdot (7 \cdot 9) \cdot (3 \cdot 9)}{9 \cdot (5 \cdot 5) \cdot (7 \cdot 7) \cdot (9 \cdot 9)} $$ Теперь сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе: Убираем $5 \cdot 5$ из числителя и знаменателя. Убираем $7 \cdot 7$ из числителя и знаменателя. Убираем $9 \cdot 9$ из числителя и знаменателя. Убираем $3$ из числителя, но в знаменателе нет $3$, зато есть $9$, которую можно разложить на $3 \cdot 3$. Давай сделаем по-другому, по очереди сокращая: $\frac{15}{25}$ сокращается на $5$, получаем $\frac{3}{5}$. $\frac{35}{49}$ сокращается на $7$, получаем $\frac{5}{7}$. $\frac{63}{9}$ сокращается на $9$, получаем $\frac{7}{1}$. $\frac{27}{81}$ сокращается на $27$, получаем $\frac{1}{3}$. Теперь у нас осталась новая дробь: $$ \frac{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 1}{5 \cdot 7 \cdot 1 \cdot 3} $$ Можно сократить $3$, $5$, $7$ из числителя и знаменателя. В итоге останется $1$. **Ответ: 1** д) $0,378 + 1,9 + 18,64 - 2,378 + 0,1 - 8,64$ Сгруппируем числа, которые легко складывать или вычитать, и те, у которых одинаковые дробные части: $(0,378 - 2,378) + (1,9 + 0,1) + (18,64 - 8,64)$ $0,378 - 2,378 = -2$ $1,9 + 0,1 = 2$ $18,64 - 8,64 = 10$ Теперь сложим эти результаты: $-2 + 2 + 10 = 0 + 10 = 10$. **Ответ: 10** е) $\frac{64 \cdot 243 \cdot 343}{36 \cdot 28 \cdot 63}$ Давай сокращать числа. Разложим каждое число на множители: $64 = 8 \cdot 8$ $243 = 3 \cdot 81 = 3 \cdot 9 \cdot 9$ $343 = 7 \cdot 49 = 7 \cdot 7 \cdot 7$ $36 = 4 \cdot 9$ $28 = 4 \cdot 7$ $63 = 7 \cdot 9$ Подставим: $$ \frac{(8 \cdot 8) \cdot (3 \cdot 9 \cdot 9) \cdot (7 \cdot 7 \cdot 7)}{(4 \cdot 9) \cdot (4 \cdot 7) \cdot (7 \cdot 9)} $$ Сократим: $\frac{64}{4 \cdot 4} = \frac{64}{16} = 4$ $\frac{243}{9 \cdot 9} = \frac{243}{81} = 3$ $\frac{343}{7 \cdot 7} = \frac{343}{49} = 7$ Теперь перемножим оставшиеся числа: $4 \cdot 3 \cdot 7 = 12 \cdot 7 = 84$. **Ответ: 84** ж) $37 \cdot 25 \cdot 4$ Сначала удобно умножить $25 \cdot 4 = 100$. Теперь $37 \cdot 100 = 3700$. **Ответ: 3700** з) $7 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ Сгруппируем числа так, чтобы получались десятки или сотни: $(5 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 2) \cdot 7$ $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 7$ $10000 \cdot 7 = 70000$ **Ответ: 70000** ### Задача 5. Охотник сказал, что волк с метровым хвостом ($1$ метр). Другой приятель сказал, что волк с двухметровым хвостом ($2$ метра). Простые люди увеличивали длину хвоста вдвое. Творческие люди увеличивали длину хвоста втрое. В результате по телевизору сообщили, что хвост длиной $648$ метров. Нужно найти, сколько простых и сколько творческих людей «отрастили» волку хвост. Обозначим количество простых людей $П$, а количество творческих людей $Т$. Начальная длина хвоста, которую услышали первые простые люди, была $2$ метра (от второго приятеля). Если бы они услышали от охотника ($1$ метр), то хвост был бы короче. Каждый простой человек умножает длину хвоста на $2$. Каждый творческий человек умножает длину хвоста на $3$. Значит, если было $П$ простых людей и $Т$ творческих людей, то длина хвоста будет $2 \cdot 2^П \cdot 3^Т = 648$. Разделим $648$ на $2$: $2^П \cdot 3^Т = 324$. Теперь нужно найти такие степени двоек и троек, которые при умножении дадут $324$. Разложим $324$ на простые множители: $324 \div 2 = 162$ $162 \div 2 = 81$ $81 \div 3 = 27$ $27 \div 3 = 9$ $9 \div 3 = 3$ $3 \div 3 = 1$ Значит, $324 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^4$. Сравнивая $2^П \cdot 3^Т = 2^2 \cdot 3^4$, мы видим, что: Количество простых людей $П = 2$. Количество творческих людей $Т = 4$. **Ответ: Хвост увеличивали 2 простых человека и 4 творческих человека.** ### Задача 6. а) Алёша сложил десять троек. Это значит $3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 10 \cdot 3 = 30$. Боря сложил три десятки. Это значит $10 + 10 + 10 = 3 \cdot 10 = 30$. У кого ответ больше? Ответы у них одинаковые. **Ответ: Ответы у Алёши и Бори одинаковые (по 30).** б) Ариша перемножила десять троек. Это значит $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^{10}$. Варя перемножила три десятки. Это значит $10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^3$. Теперь посчитаем значения: $3^{10} = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 = 81 \cdot 81 \cdot 9 = 6561 \cdot 9 = 59049$. $10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$. Сравниваем $59049$ и $1000$. $59049 > 1000$. У кого ответ больше? У Ариши ответ больше. **Ответ: У Ариши ответ больше (59049 против 1000).** ### Задача 8*. Перемножили 33 восьмёрки, 1 семёрку и 100 пятёрок. Это число можно записать как: $8^{33} \cdot 7^1 \cdot 5^{100}$ Нужно найти количество цифр и сумму цифр получившегося числа. Давай попробуем упростить выражение, чтобы получить степени $10$, потому что они легко дают нули в конце числа. $8^{33} = (2^3)^{33} = 2^{99}$ $5^{100}$ Перепишем выражение: $2^{99} \cdot 7 \cdot 5^{100}$ Мы можем выделить $2^{99} \cdot 5^{99}$ как $(2 \cdot 5)^{99} = 10^{99}$. Тогда выражение станет: $10^{99} \cdot 7 \cdot 5^1 = 10^{99} \cdot 7 \cdot 5 = 10^{99} \cdot 35$. Число $35 \cdot 10^{99}$ выглядит так: $35$ и после него $99$ нулей. Например, $35 \cdot 10^1 = 350$ (2 цифры + 1 ноль = 3 цифры) $35 \cdot 10^2 = 3500$ (2 цифры + 2 нуля = 4 цифры) Значит, $35 \cdot 10^{99}$ будет иметь $2$ цифры ($3$ и $5$) плюс $99$ нулей. Общее количество цифр = $2 + 99 = 101$. Теперь найдём сумму цифр. Число состоит из цифр $3$, $5$ и $99$ нулей. Сумма цифр = $3 + 5 + \text{сумма 99 нулей} = 8 + 0 = 8$. **Ответ: Количество цифр — 101, сумма цифр — 8.**