Найди значение выражения $\frac{4x - 16y}{2\sqrt{x} - 4\sqrt{y}} - 2\sqrt{y}$, если $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 8$

Привет! Давай разберём это выражение вместе. Нам нужно найти значение выражения: $$\frac{4x - 16y}{2\sqrt{x} - 4\sqrt{y}} - 2\sqrt{y}$$ если известно, что $$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 8$$ Сначала упростим дробь. Заметим, что числитель $4x - 16y$ можно разложить, используя формулу разности квадратов. Помнишь, что $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$? Здесь $x = (\sqrt{x})^2$ и $y = (\sqrt{y})^2$. 1. **Разложим числитель:** $$4x - 16y = 4(x - 4y) = 4((\sqrt{x})^2 - (2\sqrt{y})^2) = 4(\sqrt{x} - 2\sqrt{y})(\sqrt{x} + 2\sqrt{y})$$ 2. **Запишем дробь с новым числителем:** $$\frac{4(\sqrt{x} - 2\sqrt{y})(\sqrt{x} + 2\sqrt{y})}{2\sqrt{x} - 4\sqrt{y}}$$ 3. **Упростим знаменатель:** $$2\sqrt{x} - 4\sqrt{y} = 2(\sqrt{x} - 2\sqrt{y})$$ 4. **Подставим это в дробь и сократим:** $$\frac{4(\sqrt{x} - 2\sqrt{y})(\sqrt{x} + 2\sqrt{y})}{2(\sqrt{x} - 2\sqrt{y})} = \frac{4(\sqrt{x} + 2\sqrt{y})}{2} = 2(\sqrt{x} + 2\sqrt{y})$$ 5. **Теперь подставим это упрощённое выражение обратно в наше исходное:** $$2(\sqrt{x} + 2\sqrt{y}) - 2\sqrt{y}$$ 6. **Раскроем скобки:** $$2\sqrt{x} + 4\sqrt{y} - 2\sqrt{y}$$ 7. **Приведём подобные слагаемые:** $$2\sqrt{x} + (4 - 2)\sqrt{y} = 2\sqrt{x} + 2\sqrt{y}$$ 8. **Вынесем общий множитель 2:** $$2(\sqrt{x} + \sqrt{y})$$ 9. **Теперь используем данное нам условие:** $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 8$. $$2(8) = 16$$ **Ответ: 16**