Вычисли значения выражений с корнями в заданиях 29 и 30.

Привет! Давай разберемся с этими корнями. ### Задание 29 Чтобы извлечь корень из числа в степени, мы делим показатель степени на степень корня. Если показатель корня чётный, а подкоренное выражение может быть отрицательным, то нужно поставить знак модуля. Если показатель корня нечётный, то можно сразу извлекать. 1) $\sqrt[3]{10^6}$ Здесь корень третьей степени (нечётный), поэтому просто делим 6 на 3: $$10^{\frac{6}{3}} = 10^2 = 100$$ **Ответ: 100** 2) $\sqrt[3]{3^{12}}$ Здесь тоже корень третьей степени (нечётный): $$3^{\frac{12}{3}} = 3^4 = 81$$ **Ответ: 81** 3) $\sqrt[4]{\left(\frac{1}{2}\right)^{12}}$ Тут корень четвёртой степени (чётный), но основание $\frac{1}{2}$ положительное, поэтому модуль не нужен: $$\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{12}{4}} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}$$ **Ответ: $\frac{1}{8}$** 4) $\sqrt[4]{\left(\frac{1}{3}\right)^{16}}$ И здесь корень четвёртой степени (чётный), а основание $\frac{1}{3}$ положительное: $$\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{16}{4}} = \left(\frac{1}{3}\right)^4 = \frac{1^4}{3^4} = \frac{1}{81}$$ **Ответ: $\frac{1}{81}$** ### Задание 30 1) $\sqrt[3]{-8}$ Корень нечётной степени из отрицательного числа извлекается без проблем. Мы ищем число, которое при умножении само на себя три раза даёт -8. $$(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot (-2) = -8$$ Значит, $\sqrt[3]{-8} = -2$. **Ответ: -2** 2) $\sqrt[15]{-1}$ Снова нечётная степень корня (15). Какое число, умноженное на себя 15 раз, даст -1? Это -1. $$(-1)^{15} = -1$$ Значит, $\sqrt[15]{-1} = -1$. **Ответ: -1** 3) $\sqrt[3]{-\frac{1}{27}}$ Нечётная степень корня (3). Разделим корень на числитель и знаменатель: $$\sqrt[3]{-\frac{1}{27}} = -\sqrt[3]{\frac{1}{27}} = -\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{27}} = -\frac{1}{3}$$ **Ответ: $-\frac{1}{3}$** 4) $\sqrt[5]{-1024}$ Нечётная степень корня (5). Надо найти число, которое в пятой степени даст -1024. Можно заметить, что $2^5 = 32$. Давай попробуем 4: $$4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 16 \cdot 4 = 256 \cdot 4 = 1024$$ Так как у нас -1024, то число будет отрицательным: $-4$. **Ответ: -4** 5) $\sqrt[3]{-34^3}$ Нечётная степень корня (3). Корень из числа в степени, когда степень корня и показатель степени числа одинаковы, равен этому числу (если степень нечётная). Здесь у нас $(-34)^3 = -34^3$, поэтому: $$\sqrt[3]{-34^3} = -34$$ **Ответ: -34** 6) $\sqrt[7]{-8^7}$ Нечётная степень корня (7). Аналогично предыдущему примеру: $$\sqrt[7]{-8^7} = -8$$ **Ответ: -8**