Разложи натуральное число 512 по степеням простых чисел.

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями. Здесь нужно разложить числа на простые множители и найти наименьший общий знаменатель дробей. Это очень полезные умения в математике! ### Задание 1.4. Разложите натуральное число по степеням простых чисел. Суть задания в том, чтобы каждое число представить как произведение только простых чисел, например, $2 \cdot 2 \cdot 3$, а потом записать это короче, используя степени, например $2^2 \cdot 3$. **Вариант А** 1. Число 512. Давай делить его на самые маленькие простые числа. Сначала на 2, пока можем: $512 \div 2 = 256$ $256 \div 2 = 128$ $128 \div 2 = 64$ $64 \div 2 = 32$ $32 \div 2 = 16$ $16 \div 2 = 8$ $8 \div 2 = 4$ $4 \div 2 = 2$ $2 \div 2 = 1$ Мы делили на 2 целых 9 раз! Значит, $512 = 2^9$. 2. Число 97. Это число простое, то есть оно делится только на 1 и на себя. Так бывает!) Поэтому $97 = 97^1$. 3. Число 4563. Попробуем делить: $4563 \div 3 = 1521$ (Сумма цифр $4+5+6+3 = 18$, а 18 делится на 3, значит и число делится на 3) $1521 \div 3 = 507$ (Сумма цифр $1+5+2+1 = 9$, тоже делится на 3) $507 \div 3 = 169$ (Сумма цифр $5+0+7 = 12$, тоже делится на 3) $169 = 13 \cdot 13 = 13^2$ Получается: $4563 = 3^3 \cdot 13^2$. **Вариант Б** 1. Число 14641. Это число делится на 11: $14641 \div 11 = 1331$ $1331 \div 11 = 121$ $121 \div 11 = 11$ $11 \div 11 = 1$ Мы делили на 11 целых 4 раза. Значит, $14641 = 11^4$. 2. Число 8041. Это число простое. Оно не делится на 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89. Значит, $8041 = 8041^1$. 3. Число 1729. Это число делится на 7: $1729 \div 7 = 247$ Теперь 247. Оно не делится на 2, 3, 5. Пробуем 7. Нет. Пробуем 11. Нет. Пробуем 13: $247 \div 13 = 19$ 19 — простое число. Получается: $1729 = 7 \cdot 13 \cdot 19$. **Вариант В** 1. Число 1000188. Это число чётное, делится на 2: $1000188 \div 2 = 500094$ $500094 \div 2 = 250047$ Теперь сумма цифр $2+5+0+0+4+7=18$, делится на 3: $250047 \div 3 = 83349$ Сумма цифр $8+3+3+4+9=27$, делится на 3: $83349 \div 3 = 27783$ Сумма цифр $2+7+7+8+3=27$, делится на 3: $27783 \div 3 = 9261$ Сумма цифр $9+2+6+1=18$, делится на 3: $9261 \div 3 = 3087$ Сумма цифр $3+0+8+7=18$, делится на 3: $3087 \div 3 = 1029$ Сумма цифр $1+0+2+9=12$, делится на 3: $1029 \div 3 = 343$ А $343 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 7^3$ Итак: $1000188 = 2^2 \cdot 3^7 \cdot 7^3$. 2. Число 13832. Чётное, делится на 2: $13832 \div 2 = 6916$ $6916 \div 2 = 3458$ $3458 \div 2 = 1729$ Ого! Число 1729 мы уже разложили в предыдущем задании! Это $7 \cdot 13 \cdot 19$. Получается: $13832 = 2^3 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 19$. 3. Число 111111. Сумма цифр $1+1+1+1+1+1=6$, делится на 3: $111111 \div 3 = 37037$ Это число делится на 7: $37037 \div 7 = 5291$ Это число делится на 11: $5291 \div 11 = 481$ Число 481. Пробуем делить на простые числа. $481 \div 13 = 37$. А 37 — простое число. Итак: $111111 = 3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37$. ### Задание 1.5. Найдите наименьший общий знаменатель дробей. Чтобы найти наименьший общий знаменатель (НОЗ) дробей, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей. Сначала разложим каждый знаменатель на простые множители. 1. Дроби $\frac{1}{15}$ и $\frac{7}{55}$. Знаменатели: 15 и 55. Разложим их на простые множители: $15 = 3 \cdot 5$ $55 = 5 \cdot 11$ Чтобы найти НОК, нужно взять все множители от каждого числа, но повторяющиеся брать только один раз (или в наибольшей степени, если они повторяются). Здесь у нас 3, 5 и 11. Пятёрка есть в обоих, берём её один раз. НОК$(15, 55) = 3 \cdot 5 \cdot 11 = 165$. **Ответ: 165** 2. Дроби $\frac{2}{45}$ и $\frac{4}{99}$. Знаменатели: 45 и 99. Разложим их на простые множители: $45 = 3 \cdot 3 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$ $99 = 3 \cdot 3 \cdot 11 = 3^2 \cdot 11$ Теперь соберём все множители. Тройка встречается в квадрате ($3^2$), пятёрка ($5$) и одиннадцать ($11$). НОК$(45, 99) = 3^2 \cdot 5 \cdot 11 = 9 \cdot 5 \cdot 11 = 45 \cdot 11 = 495$. **Ответ: 495**