Реши систему уравнений $x^2 - y^2 = 3(x + y)$ и $\frac{1}{4x - 3y} = \frac{1}{7}$.

Привет! Давай разберем эти системы уравнений по шагам. ### Задание 1. Реши систему уравнений $$\begin{cases} x^2 - y^2 = 3(x + y) \\ \frac{1}{4x - 3y} = \frac{1}{7} \end{cases}$$ 1. Рассмотрим первое уравнение: $x^2 - y^2 = 3(x + y)$. Мы знаем формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. Тогда уравнение станет: $(x - y)(x + y) = 3(x + y)$. Перенесём всё в одну сторону: $(x - y)(x + y) - 3(x + y) = 0$ Вынесем общий множитель $(x + y)$ за скобки: $(x + y)(x - y - 3) = 0$ Это уравнение будет верным, если один из множителей равен нулю: а) $x + y = 0 \implies y = -x$ б) $x - y - 3 = 0 \implies x - y = 3$ 2. Теперь рассмотрим второе уравнение: $\frac{1}{4x - 3y} = \frac{1}{7}$. Для того чтобы дроби были равны, их знаменатели должны быть равны, при условии, что они не равны нулю. То есть $4x - 3y = 7$. А также $4x - 3y \neq 0$. 3. Теперь нам нужно решить две системы, используя два случая из первого уравнения: **Случай 1:** $$\begin{cases} y = -x \\ 4x - 3y = 7 \end{cases}$$ Подставим $y = -x$ во второе уравнение: $4x - 3(-x) = 7$ $4x + 3x = 7$ $7x = 7$ $x = 1$ Теперь найдём $y$: $y = -x = -1$. Проверим условие $4x - 3y \neq 0$: $4(1) - 3(-1) = 4 + 3 = 7 \neq 0$. Значит, это решение подходит. Получаем пару $(1, -1)$. **Случай 2:** $$\begin{cases} x - y = 3 \\ 4x - 3y = 7 \end{cases}$$ Из первого уравнения выразим $x$: $x = y + 3$. Подставим это во второе уравнение: $4(y + 3) - 3y = 7$ $4y + 12 - 3y = 7$ $y + 12 = 7$ $y = 7 - 12$ $y = -5$ Теперь найдём $x$: $x = y + 3 = -5 + 3 = -2$. Проверим условие $4x - 3y \neq 0$: $4(-2) - 3(-5) = -8 + 15 = 7 \neq 0$. Значит, это решение тоже подходит. Получаем пару $(-2, -5)$. **Ответ: Система имеет два решения: $(1, -1)$ и $(-2, -5)$.** ### Задание 2. Найдите решение системы уравнений $$\begin{cases} 3\sqrt{\frac{x}{y}} + 2\sqrt{\frac{y}{x}} = 5 \\ 4\sqrt{x} + \sqrt{y} = 10 \end{cases}$$ 1. Для начала нужно понять, какие значения могут принимать $x$ и $y$. Так как у нас есть корни, $x \ge 0$ и $y \ge 0$. Также $x$ и $y$ не могут быть нулём, потому что они стоят в знаменателе под корнем. Значит, $x > 0$ и $y > 0$. 2. Рассмотрим первое уравнение: $3\sqrt{\frac{x}{y}} + 2\sqrt{\frac{y}{x}} = 5$. Заметим, что $\sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{x}{y}}}$. Пусть $t = \sqrt{\frac{x}{y}}$. Тогда $t > 0$. Уравнение станет: $3t + \frac{2}{t} = 5$. Умножим всё на $t$ (помни, $t \neq 0$): $3t^2 + 2 = 5t$ $3t^2 - 5t + 2 = 0$ Решим это квадратное уравнение. Можно найти корни с помощью дискриминанта или по теореме Виета. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$. $t = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 1}{6}$. Получаем два значения для $t$: $t_1 = \frac{5 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$ $t_2 = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ 3. Теперь вернёмся к замене $t = \sqrt{\frac{x}{y}}$: **Случай 1:** $t = 1$ $\sqrt{\frac{x}{y}} = 1$ Возведём обе части в квадрат: $\frac{x}{y} = 1 \implies x = y$ **Случай 2:** $t = \frac{2}{3}$ $\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{2}{3}$ Возведём обе части в квадрат: $\frac{x}{y} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} \implies x = \frac{4}{9}y$ 4. Теперь используем второе уравнение системы: $4\sqrt{x} + \sqrt{y} = 10$. **Продолжим Случай 1:** $x = y$ Подставим $x = y$ во второе уравнение: $4\sqrt{y} + \sqrt{y} = 10$ $5\sqrt{y} = 10$ $\sqrt{y} = 2$ Возведём обе части в квадрат: $y = 4$ Так как $x = y$, то $x = 4$. Проверим условие $x > 0, y > 0$: $4 > 0$. Подходит. Получили пару $(4, 4)$. **Продолжим Случай 2:** $x = \frac{4}{9}y$ Подставим $x = \frac{4}{9}y$ во второе уравнение: $4\sqrt{\frac{4}{9}y} + \sqrt{y} = 10$ $4 \cdot \sqrt{\frac{4}{9}} \cdot \sqrt{y} + \sqrt{y} = 10$ $4 \cdot \frac{2}{3} \cdot \sqrt{y} + \sqrt{y} = 10$ $\frac{8}{3}\sqrt{y} + \sqrt{y} = 10$ Сложим $\sqrt{y}$: $\left(\frac{8}{3} + 1\right)\sqrt{y} = 10$ $\left(\frac{8}{3} + \frac{3}{3}\right)\sqrt{y} = 10$ $\frac{11}{3}\sqrt{y} = 10$ $\sqrt{y} = \frac{10 \cdot 3}{11} = \frac{30}{11}$ Возведём обе части в квадрат: $y = \left(\frac{30}{11}\right)^2 = \frac{900}{121}$ Теперь найдём $x$: $x = \frac{4}{9}y = \frac{4}{9} \cdot \frac{900}{121} = \frac{4 \cdot 100}{121} = \frac{400}{121}$. Проверим условие $x > 0, y > 0$: $\frac{400}{121} > 0$ и $\frac{900}{121} > 0$. Подходит. Получили пару $\left(\frac{400}{121}, \frac{900}{121}\right)$. **Ответ: Система имеет два решения: $(4, 4)$ и $\left(\frac{400}{121}, \frac{900}{121}\right)$.** ### Задание 3. Найдите все пары $(x, y)$ целых чисел $x$ и $y$, являющиеся решениями системы уравнений $$\begin{cases} x = \frac{7y - 34}{y - 5} \\ x^2 + y^2 = 52 \end{cases}$$ 1. Нам нужно найти только целые числа $x$ и $y$. Рассмотрим первое уравнение: $x = \frac{7y - 34}{y - 5}$. Мы можем выделить целую часть из дроби. Разделим многочлен на многочлен или сделаем так: $x = \frac{7y - 35 + 1}{y - 5} = \frac{7(y - 5) + 1}{y - 5} = \frac{7(y - 5)}{y - 5} + \frac{1}{y - 5} = 7 + \frac{1}{y - 5}$. Так как $x$ и $y$ — целые числа, то и $y - 5$ тоже должно быть целым числом. Для того чтобы $7 + \frac{1}{y - 5}$ было целым числом, дробь $\frac{1}{y - 5}$ должна быть целым числом. Это возможно только в двух случаях: а) $y - 5 = 1 \implies y = 6$ б) $y - 5 = -1 \implies y = 4$ 2. Теперь подставим эти значения $y$ во второе уравнение $x^2 + y^2 = 52$ и найдём соответствующие $x$. **Случай 1:** $y = 6$ $x = 7 + \frac{1}{6 - 5} = 7 + \frac{1}{1} = 7 + 1 = 8$. Проверим эту пару $(8, 6)$ во втором уравнении: $x^2 + y^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$. Но по условию $x^2 + y^2 = 52$. Так как $100 \neq 52$, эта пара не является решением системы. **Случай 2:** $y = 4$ $x = 7 + \frac{1}{4 - 5} = 7 + \frac{1}{-1} = 7 - 1 = 6$. Проверим эту пару $(6, 4)$ во втором уравнении: $x^2 + y^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52$. Это верно! $52 = 52$. Значит, пара $(6, 4)$ является решением. **Ответ: Единственная пара целых чисел, являющаяся решением, это $(6, 4)$.**