Реши уравнение $\log_3(9 - x) = \log_3(5 - 2x) + 1$

Привет! Давай разберемся с этими логарифмическими уравнениями и неравенствами. Это как будто мы решаем головоломки, используя правила логарифмов! **5.14. Решите уравнение:** а) $\log_3(9 - x) = \log_3(5 - 2x) + 1$; Сначала нужно, чтобы логарифмы существовали. Для этого выражения под логарифмами должны быть больше нуля: 1) $9 - x > 0 \Rightarrow x < 9$ 2) $5 - 2x > 0 \Rightarrow -2x > -5 \Rightarrow x < 2.5$ Значит, $x$ должно быть меньше $2.5$. Запомним это! Теперь перепишем $1$ как $\log_3 3$: $\log_3(9 - x) = \log_3(5 - 2x) + \log_3 3$ Используем правило сложения логарифмов ($\log a + \log b = \log (ab)$): $\log_3(9 - x) = \log_3(3 \cdot (5 - 2x))$ Теперь, если логарифмы равны и основания одинаковые, то и выражения под логарифмами тоже равны: $9 - x = 3(5 - 2x)$ $9 - x = 15 - 6x$ Перенесем $x$ в одну сторону, числа в другую: $-x + 6x = 15 - 9$ $5x = 6$ $x = \frac{6}{5}$ $x = 1.2$ Проверим, подходит ли это значение $x < 2.5$. Да, $1.2 < 2.5$, так что это наш ответ. **Ответ: $x = 1.2$** б) $\log_5(x^2 + 2x) = \log_5(x + 12)$; Как и в прошлый раз, начнем с условий, при которых логарифмы существуют: 1) $x^2 + 2x > 0 \Rightarrow x(x + 2) > 0$. Это значит, что $x < -2$ или $x > 0$. 2) $x + 12 > 0 \Rightarrow x > -12$. Объединяем условия: $x$ должно быть больше $-12$ И ($x < -2$ ИЛИ $x > 0$). Значит, $x \in (-12; -2) \cup (0; +\infty)$. Теперь приравниваем выражения под логарифмами: $x^2 + 2x = x + 12$ $x^2 + 2x - x - 12 = 0$ $x^2 + x - 12 = 0$ Это квадратное уравнение. Можем решить его с помощью дискриминанта или по теореме Виета. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$. $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 7}{2}$ Два возможных решения: $x_1 = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$ $x_2 = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4$ Проверим эти решения по нашим условиям: Для $x_1 = 3$: $3 \in (0; +\infty)$, условие выполняется. Для $x_2 = -4$: $-4 \in (-12; -2)$, условие выполняется. **Ответ: $x_1 = 3$, $x_2 = -4$** в) $\log_{0.4}(6 - x) = 2\log_{0.4} x$; Условия существования логарифмов: 1) $6 - x > 0 \Rightarrow x < 6$ 2) $x > 0$ Значит, $x$ должно быть в интервале $(0; 6)$. Используем правило $n \log_a b = \log_a (b^n)$: $\log_{0.4}(6 - x) = \log_{0.4} (x^2)$ Приравниваем выражения под логарифмами: $6 - x = x^2$ $x^2 + x - 6 = 0$ Решаем квадратное уравнение: Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$. $x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}$ Два возможных решения: $x_1 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$ $x_2 = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$ Проверим решения по условиям $x \in (0; 6)$: Для $x_1 = 2$: $2 \in (0; 6)$, подходит. Для $x_2 = -3$: $-3$ не принадлежит $(0; 6)$, не подходит. **Ответ: $x = 2$** г) $\log_2(8 - 3x) = \log_2(2 - x) + 3$; Условия существования логарифмов: 1) $8 - 3x > 0 \Rightarrow -3x > -8 \Rightarrow x < \frac{8}{3} \approx 2.67$ 2) $2 - x > 0 \Rightarrow x < 2$ Объединяем условия: $x < 2$. Перепишем $3$ как $\log_2 2^3 = \log_2 8$: $\log_2(8 - 3x) = \log_2(2 - x) + \log_2 8$ Используем правило сложения логарифмов: $\log_2(8 - 3x) = \log_2(8(2 - x))$ Приравниваем выражения под логарифмами: $8 - 3x = 8(2 - x)$ $8 - 3x = 16 - 8x$ Переносим $x$ в одну сторону, числа в другую: $-3x + 8x = 16 - 8$ $5x = 8$ $x = \frac{8}{5}$ $x = 1.6$ Проверяем по условию $x < 2$. Да, $1.6 < 2$, подходит. **Ответ: $x = 1.6$** д) $\log_{0.5}(x^2 + 3x) = \log_{0.5}(x + 15)$; Условия существования логарифмов: 1) $x^2 + 3x > 0 \Rightarrow x(x + 3) > 0$. Это значит, что $x < -3$ или $x > 0$. 2) $x + 15 > 0 \Rightarrow x > -15$. Объединяем условия: $x \in (-15; -3) \cup (0; +\infty)$. Приравниваем выражения под логарифмами: $x^2 + 3x = x + 15$ $x^2 + 3x - x - 15 = 0$ $x^2 + 2x - 15 = 0$ Решаем квадратное уравнение: Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$. $x = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 \pm 8}{2}$ Два возможных решения: $x_1 = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$ $x_2 = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5$ Проверим решения по условиям: Для $x_1 = 3$: $3 \in (0; +\infty)$, подходит. Для $x_2 = -5$: $-5 \in (-15; -3)$, подходит. **Ответ: $x_1 = 3$, $x_2 = -5$** е) $\log_4(6 - 5x) = 2\log_4 x$. Условия существования логарифмов: 1) $6 - 5x > 0 \Rightarrow -5x > -6 \Rightarrow x < \frac{6}{5} \Rightarrow x < 1.2$ 2) $x > 0$ Объединяем условия: $x \in (0; 1.2)$. Используем правило $n \log_a b = \log_a (b^n)$: $\log_4(6 - 5x) = \log_4 (x^2)$ Приравниваем выражения под логарифмами: $6 - 5x = x^2$ $x^2 + 5x - 6 = 0$ Решаем квадратное уравнение: Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$. $x = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-5 \pm 7}{2}$ Два возможных решения: $x_1 = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1$ $x_2 = \frac{-5 - 7}{2} = \frac{-12}{2} = -6$ Проверим решения по условиям $x \in (0; 1.2)$: Для $x_1 = 1$: $1 \in (0; 1.2)$, подходит. Для $x_2 = -6$: $-6$ не принадлежит $(0; 1.2)$, не подходит. **Ответ: $x = 1$** **5.15. Решите неравенство:** а) $\log_{\frac{1}{3}}^2 x - 5\log_{\frac{1}{3}} x + 6 \le 0$; Сначала ОДЗ (область допустимых значений) для логарифма: $x > 0$. Давай сделаем замену переменной, чтобы было проще: пусть $y = \log_{\frac{1}{3}} x$. Тогда неравенство превратится в обычное квадратное: $y^2 - 5y + 6 \le 0$ Найдем корни квадратного уравнения $y^2 - 5y + 6 = 0$. Можно использовать теорему Виета: сумма корней $5$, произведение $6$. Это $y_1 = 2$ и $y_2 = 3$. Так как это парабола, ветви которой направлены вверх, то неравенство $y^2 - 5y + 6 \le 0$ выполняется между корнями: $2 \le y \le 3$ Теперь вернемся к нашей замене $y = \log_{\frac{1}{3}} x$: $2 \le \log_{\frac{1}{3}} x \le 3$ Разделим это на два неравенства: 1) $\log_{\frac{1}{3}} x \ge 2$ 2) $\log_{\frac{1}{3}} x \le 3$ Внимание: основание логарифма $0 < \frac{1}{3} < 1$. Это значит, что при