Найти и нарисовать функцию y = x² + 3

Привет! Давай вместе разберёмся с заданием 69 из учебника Никольского. Нам нужно построить график функции. Мы будем работать с первой функцией из задания 69, а именно: $$y = x^2 + 3$$ Это квадратичная функция. График такой функции называется параболой. Она имеет форму "чаши" или "подковки". Поскольку коэффициент при $x^2$ (это число перед $x^2$) равен $1$, а $1 > 0$, то "ветви" нашей параболы будут направлены вверх. Чтобы нарисовать параболу, нам нужно найти несколько ключевых точек: **Шаг 1: Находим координаты вершины параболы.** Вершина — это самая нижняя (или самая верхняя) точка параболы. Для функции вида $y = ax^2 + bx + c$, координаты вершины $(x_в, y_в)$ можно найти по формулам: $x_в = -\frac{b}{2a}$ $y_в = y(x_в)$ (то есть, мы подставляем найденное значение $x_в$ в нашу функцию, чтобы найти $y_в$). В нашем случае, функция $y = x^2 + 3$ может быть записана как $y = 1x^2 + 0x + 3$. Значит, $a = 1$, $b = 0$, $c = 3$. Теперь подставим эти значения в формулу для $x_в$: $$x_в = -\frac{0}{2 \cdot 1} = -\frac{0}{2} = 0$$ Теперь найдём $y_в$, подставив $x_в = 0$ в функцию: $$y_в = (0)^2 + 3 = 0 + 3 = 3$$ Итак, вершина нашей параболы находится в точке с координатами $(0, 3)$. **Шаг 2: Находим дополнительные точки для построения графика.** Парабола симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через её вершину (в нашем случае, это прямая $x = 0$, то есть ось Y). Поэтому удобно брать значения $x$ слева и справа от вершины на одинаковом расстоянии. Давай возьмём несколько точек: 1. Если $x = 1$: $$y = (1)^2 + 3 = 1 + 3 = 4$$ Получили точку $(1, 4)$. 2. Если $x = -1$: $$y = (-1)^2 + 3 = 1 + 3 = 4$$ Получили точку $(-1, 4)$. Как видишь, из-за симметрии $y$ получился одинаковым! 3. Если $x = 2$: $$y = (2)^2 + 3 = 4 + 3 = 7$$ Получили точку $(2, 7)$. 4. Если $x = -2$: $$y = (-2)^2 + 3 = 4 + 3 = 7$$ Получили точку $(-2, 7)$. **Шаг 3: Описываем график функции.** Теперь у нас есть все необходимые точки, чтобы представить, как выглядит наш график: * Это парабола, ветви которой направлены вверх. * Её вершина находится в точке $(0, 3)$. * Ось симметрии параболы — это ось Y (или прямая $x=0$). * График проходит через точки: $(-2, 7)$, $(-1, 4)$, $(0, 3)$, $(1, 4)$, $(2, 7)$. Чтобы нарисовать график, тебе нужно отметить эти точки на координатной плоскости (где есть ось X и ось Y) и аккуратно соединить их плавной линией, помня, что это парабола, а не ломаная линия. Начни от вершины $(0, 3)$, затем проведи линию через $(1, 4)$ и $(2, 7)$ вверх, а потом симметрично через $(-1, 4)$ и $(-2, 7)$ тоже вверх. **Ответ:** График функции $y = x^2 + 3$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 3)$, ветви которой направлены вверх. Она симметрична относительно оси Y и проходит через точки $(-2, 7)$, $(-1, 4)$, $(0, 3)$, $(1, 4)$, $(2, 7)$.