Найди площадь области, ограниченной линиями $y = 2$ и $y = \frac{x^2}{2}$

Привет! Давай вместе найдем площадь области, ограниченной этими двумя линиями. Сначала нам нужно узнать, где эти две линии пересекаются. Для этого мы приравниваем их уравнения: $$2 = \frac{x^2}{2}$$ Теперь давай решим это уравнение, чтобы найти $x$: Умножим обе части на 2: $$4 = x^2$$ Извлечём квадратный корень из обеих частей: $$x = \pm\sqrt{4}$$ $$x = \pm 2$$ Значит, линии пересекаются в точках $x = -2$ и $x = 2$. Теперь нам нужно понять, какая из функций находится выше на этом промежутке. Возьмём, например, $x = 0$ (это число между -2 и 2): Для $y = 2$, значение равно 2. Для $y = \frac{x^2}{2}$, значение равно $\frac{0^2}{2} = 0$. Так как $2 > 0$, это значит, что прямая $y = 2$ находится выше параболы $y = \frac{x^2}{2}$ на промежутке от $-2$ до $2$. Чтобы найти площадь, мы будем использовать определённый интеграл. Площадь будет равна интегралу от верхней функции минус нижняя функция, в пределах от $-2$ до $2$: $$S = \int_{-2}^{2} \left(2 - \frac{x^2}{2}\right) dx$$ Теперь найдём первообразную для каждого слагаемого: Первообразная для $2$ это $2x$. Первообразная для $-\frac{x^2}{2}$ это $-\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} = -\frac{x^3}{6}$. Значит, интеграл будет: $$S = \left[2x - \frac{x^3}{6}\right]_{-2}^{2}$$ Теперь подставим верхний предел ($x=2$) и вычтем значение с нижним пределом ($x=-2$): $$S = \left(2(2) - \frac{2^3}{6}\right) - \left(2(-2) - \frac{(-2)^3}{6}\right)$$ Вычислим: $$S = \left(4 - \frac{8}{6}\right) - \left(-4 - \frac{-8}{6}\right)$$ $$S = \left(4 - \frac{4}{3}\right) - \left(-4 + \frac{4}{3}\right)$$ $$S = 4 - \frac{4}{3} + 4 - \frac{4}{3}$$ $$S = 8 - \frac{8}{3}$$ Теперь приведём к общему знаменателю (3): $$S = \frac{8 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3}$$ $$S = \frac{24}{3} - \frac{8}{3}$$ $$S = \frac{24 - 8}{3}$$ $$S = \frac{16}{3}$$ Можно представить это как смешанную дробь: $$S = 5\frac{1}{3}$$ **Ответ:** $\frac{16}{3}$ или $5\frac{1}{3}$