Упрости выражение (1/(a+2) - 12/(a^3+8) + 6/(a^2-2a+4)) * (a - (4a-4)/(a+2))

Привет! Давай вместе упростим это выражение. Помнишь, как приводить дроби к общему знаменателю и сокращать похожие слагаемые? Тут нам это очень пригодится! Сначала упростим выражение в первых скобках. Заметим, что $a^3+8$ можно разложить как сумму кубов: $a^3+8 = (a+2)(a^2-2a+4)$. Это поможет нам найти общий знаменатель. $$\frac{1}{a+2} - \frac{12}{a^3+8} + \frac{6}{a^2-2a+4} = \frac{1}{a+2} - \frac{12}{(a+2)(a^2-2a+4)} + \frac{6}{a^2-2a+4}$$ Общий знаменатель будет $(a+2)(a^2-2a+4)$. Домножаем числители: $$\frac{1 \cdot (a^2-2a+4)}{(a+2)(a^2-2a+4)} - \frac{12}{(a+2)(a^2-2a+4)} + \frac{6 \cdot (a+2)}{(a+2)(a^2-2a+4)}$$ Теперь всё собираем в одну дробь: $$\frac{a^2-2a+4 - 12 + 6a+12}{(a+2)(a^2-2a+4)} = \frac{a^2+4a+4}{(a+2)(a^2-2a+4)}$$ Заметим, что $a^2+4a+4$ — это квадрат суммы $(a+2)^2$. Так что можно записать так: $$\frac{(a+2)^2}{(a+2)(a^2-2a+4)}$$ Сокращаем $(a+2)$ в числителе и знаменателе (если $a \neq -2$): $$\frac{a+2}{a^2-2a+4}$$ Теперь упростим выражение во вторых скобках: $$a - \frac{4a-4}{a+2}$$ Приводим к общему знаменателю $a+2$: $$\frac{a(a+2)}{a+2} - \frac{4a-4}{a+2} = \frac{a^2+2a-(4a-4)}{a+2}$$ Раскрываем скобки в числителе, не забывая про минус: $$\frac{a^2+2a-4a+4}{a+2} = \frac{a^2-2a+4}{a+2}$$ Наконец, умножаем результаты из первых и вторых скобок: $$(\frac{a+2}{a^2-2a+4}) \cdot (\frac{a^2-2a+4}{a+2})$$ Видишь, тут у нас есть одинаковые части в числителе и знаменателе. Можно их сократить (при условии, что $a \neq -2$ и $a^2-2a+4 \neq 0$). Квадратный трёхчлен $a^2-2a+4$ всегда положителен (его дискриминант отрицательный, а коэффициент при $a^2$ положительный), так что он не равен нулю. Получаем: $$1$$ **Ответ: 1**