Вычислите $\log_8(42 - 5x) + \log_8 \frac{1}{4} = \log_8 8$

Привет! Давай вместе решим это уравнение. Тут у нас логарифмы, это почти как искать степень, в которую нужно возвести число, чтобы получить другое число. Сначала разберёмся с уравнением: $$\log_8(42 - 5x) + \log_8 \frac{1}{4} = \log_8 8$$ У логарифмов есть такие свойства, которые нам помогут. Смотри: 1. Когда логарифмы с одинаковым основанием (у нас это 8) складываются, то числа внутри них можно перемножить. То есть $\log_a M + \log_a N = \log_a (M \cdot N)$. 2. $\log_a a = 1$. Это значит, что если основание логарифма и число внутри него одинаковые, то логарифм равен 1. У нас это $\log_8 8 = 1$. Применим первое свойство к левой части уравнения: $$ \log_8 \left( (42 - 5x) \cdot \frac{1}{4} \right) = \log_8 8 $$ $$ \log_8 \left( \frac{42 - 5x}{4} \right) = \log_8 8 $$ Теперь у нас логарифмы с одинаковым основанием (8) с обеих сторон уравнения. Значит, числа внутри логарифмов должны быть равны: $$ \frac{42 - 5x}{4} = 8 $$ Чтобы избавиться от деления на 4, умножим обе части уравнения на 4: $$ 42 - 5x = 8 \cdot 4 $$ $$ 42 - 5x = 32 $$ Теперь перенесём 42 в правую часть уравнения, не забывая поменять знак: $$ -5x = 32 - 42 $$ $$ -5x = -10 $$ И чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на -5: $$ x = \frac{-10}{-5} $$ $$ x = 2 $$ Ещё нужно обязательно проверить, чтобы выражение под логарифмом было больше нуля. У нас это $42 - 5x > 0$. Подставим найденный $x=2$: $$ 42 - 5 \cdot 2 > 0 $$ $$ 42 - 10 > 0 $$ $$ 32 > 0 $$ Всё верно, 32 больше нуля, значит, наше решение подходит. **Ответ:** $x = 2$