Найди положительный коэффициент k в уравнении 5x² - kx + 1 = 0, если его корни удовлетворяют условию x₁ - x₂ = 1.

Привет! Давай разберёмся с этим уравнением. У нас есть квадратное уравнение $5x^2 - kx + 1 = 0$. Мы знаем, что его корни $x_1$ и $x_2$ удовлетворяют условию $x_1 - x_2 = 1$. Ещё нам нужно найти положительный коэффициент $k$. 1. **Вспомним формулы Виета.** Они помогают связать корни квадратного уравнения с его коэффициентами. Для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ формулы Виета такие: * Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b/a$ * Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c/a$ 2. **Применим формулы Виета к нашему уравнению.** В нашем уравнении $a = 5$, $b = -k$, $c = 1$. Подставим эти значения: * $x_1 + x_2 = -(-k)/5 = k/5$ * $x_1 \cdot x_2 = 1/5$ 3. **Теперь у нас есть система уравнений:** 1. $x_1 - x_2 = 1$ (это нам дано в задании) 2. $x_1 + x_2 = k/5$ 3. $x_1 \cdot x_2 = 1/5$ 4. **Давай решим первые два уравнения, чтобы найти $x_1$ и $x_2$ через $k$:** Сложим первое и второе уравнение: $(x_1 - x_2) + (x_1 + x_2) = 1 + k/5$ $2x_1 = 1 + k/5$ $x_1 = (1 + k/5)/2$ Вычтем первое уравнение из второго: $(x_1 + x_2) - (x_1 - x_2) = k/5 - 1$ $2x_2 = k/5 - 1$ $x_2 = (k/5 - 1)/2$ 5. **Подставим найденные $x_1$ и $x_2$ в третье уравнение ($x_1 \cdot x_2 = 1/5$):** $((1 + k/5)/2) \cdot ((k/5 - 1)/2) = 1/5$ 6. **Упростим это выражение.** Заметим, что в числителе у нас формула разности квадратов: $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$. Здесь $A = k/5$ и $B = 1$. $(\frac{k}{5} + 1)(\frac{k}{5} - 1) = 4 \cdot \frac{1}{5}$ $(\frac{k}{5})^2 - 1^2 = \frac{4}{5}$ $\frac{k^2}{25} - 1 = \frac{4}{5}$ 7. **Решим это уравнение относительно $k$:** $\frac{k^2}{25} = \frac{4}{5} + 1$ $\frac{k^2}{25} = \frac{4}{5} + \frac{5}{5}$ $\frac{k^2}{25} = \frac{9}{5}$ Теперь умножим обе части на 25, чтобы избавиться от знаменателя: $k^2 = \frac{9}{5} \cdot 25$ $k^2 = 9 \cdot 5$ $k^2 = 45$ 8. **Найдём $k$:** $k = \pm\sqrt{45}$ $k = \pm\sqrt{9 \cdot 5}$ $k = \pm 3\sqrt{5}$ 9. **Выберем положительный коэффициент.** В задании сказано, что $k$ должен быть положительным. **$k = 3\sqrt{5}$** **Ответ: $k = 3\sqrt{5}$**