Вычисли мне выражение с корнями и степенями

Давай посчитаем это выражение по шагам, чтобы было понятнее! Сначала упростим числитель первой дроби: $$\sqrt[8]{3^5} \cdot \sqrt[8]{3^3} = \sqrt[8]{3^5 \cdot 3^3} = \sqrt[8]{3^{5+3}} = \sqrt[8]{3^8} = 3$$ Теперь для числа 5 в числителе: $$5^2 \cdot 5^6 = 5^{2+6} = 5^8$$ Значит, числитель первой дроби равен $$3 \cdot 5^8$$ Теперь упростим знаменатель первой дроби. Там деление корней: $$\frac{\sqrt[5]{96}}{\sqrt[5]{729}} = \sqrt[5]{\frac{96}{729}}$$ Число 96 можно разложить как $$32 \cdot 3 = 2^5 \cdot 3$$ Число 729 можно разложить как $$3^6$$ Тогда выражение под корнем будет: $$\frac{2^5 \cdot 3}{3^6} = \frac{2^5}{3^5} = \left(\frac{2}{3}\right)^5$$ Значит, знаменатель первой дроби равен: $$\sqrt[5]{\left(\frac{2}{3}\right)^5} = \frac{2}{3}$$ Итак, первая дробь целиком стала: $$\frac{3 \cdot 5^8}{\frac{2}{3}} = 3 \cdot 5^8 \cdot \frac{3}{2} = \frac{9 \cdot 5^8}{2}$$ Теперь перейдем ко второй дроби. Упростим её: $$\frac{\sqrt[3]{5^8 \cdot 7^{10}}}{\sqrt[3]{5^2 \cdot 7^{16}}} = \sqrt[3]{\frac{5^8 \cdot 7^{10}}{5^2 \cdot 7^{16}}}$$ Разделим степени с одинаковыми основаниями: Для числа 5: $$\frac{5^8}{5^2} = 5^{8-2} = 5^6$$ Для числа 7: $$\frac{7^{10}}{7^{16}} = 7^{10-16} = 7^{-6}$$ Значит, под корнем будет: $$5^6 \cdot 7^{-6} = \left(\frac{5}{7}\right)^6$$ Тогда вторая дробь равна: $$\sqrt[3]{\left(\frac{5}{7}\right)^6} = \left(\frac{5}{7}\right)^{\frac{6}{3}} = \left(\frac{5}{7}\right)^2 = \frac{5^2}{7^2} = \frac{25}{49}$$ Теперь осталось разделить первую упрощенную дробь на вторую упрощенную дробь: $$\frac{9 \cdot 5^8}{2} : \frac{25}{49} = \frac{9 \cdot 5^8}{2} \cdot \frac{49}{25}$$ Заметим, что $$25 = 5^2$$. Тогда: $$\frac{9 \cdot 5^8}{2} \cdot \frac{49}{5^2} = \frac{9 \cdot 5^{8-2} \cdot 49}{2} = \frac{9 \cdot 5^6 \cdot 49}{2}$$ Теперь можно посчитать числа: $$9 \cdot 49 = 441$$ $$5^6 = 15625$$ Тогда выражение равно: $$\frac{441 \cdot 15625}{2} = \frac{6890625}{2} = 3445312,5$$ **Ответ:** $$3445312,5$$