Упрости выражения А) $$\frac{(3\sqrt{5})^2}{15}$$

Привет! Давай вместе упростим эти выражения. Это не так сложно, как кажется, нужно просто помнить несколько правил работы с корнями и дробями. А) $$\frac{(3\sqrt{5})^2}{15}$$ Сначала возведём в квадрат числитель. Помни, что $$(ab)^2 = a^2b^2$$, поэтому $$(3\sqrt{5})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$$. Теперь подставим это в дробь: $$\frac{45}{15} = 3$$. Б) $$\frac{6}{(2\sqrt{3})^2}$$ Сначала возведём в квадрат знаменатель: $$(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$$. Теперь подставим это в дробь: $$\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$. В) $$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$$ Чтобы вычесть эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет $$( \sqrt{5}+\sqrt{3} ) ( \sqrt{5}-\sqrt{3} )$$. Это формула разности квадратов: $$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$$. Значит, $$( \sqrt{5}+\sqrt{3} ) ( \sqrt{5}-\sqrt{3} ) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$$. Теперь приведём дроби к этому знаменателю: Первая дробь: $$\frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}{2} = \frac{(\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}{2} = \frac{5 - 2\sqrt{15} + 3}{2} = \frac{8 - 2\sqrt{15}}{2} = 4 - \sqrt{15}$$. Вторая дробь: $$\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}{2} = \frac{(\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}{2} = \frac{5 + 2\sqrt{15} + 3}{2} = \frac{8 + 2\sqrt{15}}{2} = 4 + \sqrt{15}$$. Теперь вычтем их: $$(4 - \sqrt{15}) - (4 + \sqrt{15}) = 4 - \sqrt{15} - 4 - \sqrt{15} = -2\sqrt{15}$$. Г) $$\frac{\sqrt{10} + \sqrt{6}}{\sqrt{10} - \sqrt{6}} - \frac{\sqrt{10} - \sqrt{6}}{\sqrt{10} + \sqrt{6}}$$ Это выражение очень похоже на предыдущее! Здесь также используем формулу разности квадратов для общего знаменателя: $$( \sqrt{10}-\sqrt{6} ) ( \sqrt{10}+\sqrt{6} ) = (\sqrt{10})^2 - (\sqrt{6})^2 = 10 - 6 = 4$$. Первая дробь: $$\frac{(\sqrt{10}+\sqrt{6})(\sqrt{10}+\sqrt{6})}{(\sqrt{10}-\sqrt{6})(\sqrt{10}+\sqrt{6})} = \frac{(\sqrt{10}+\sqrt{6})^2}{4} = \frac{(\sqrt{10})^2 + 2\sqrt{10}\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2}{4} = \frac{10 + 2\sqrt{60} + 6}{4} = \frac{16 + 2\sqrt{4 \cdot 15}}{4} = \frac{16 + 2 \cdot 2\sqrt{15}}{4} = \frac{16 + 4\sqrt{15}}{4} = 4 + \sqrt{15}$$. Вторая дробь: $$\frac{(\sqrt{10}-\sqrt{6})(\sqrt{10}-\sqrt{6})}{(\sqrt{10}+\sqrt{6})(\sqrt{10}-\sqrt{6})} = \frac{(\sqrt{10}-\sqrt{6})^2}{4} = \frac{(\sqrt{10})^2 - 2\sqrt{10}\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2}{4} = \frac{10 - 2\sqrt{60} + 6}{4} = \frac{16 - 2\sqrt{4 \cdot 15}}{4} = \frac{16 - 4\sqrt{15}}{4} = 4 - \sqrt{15}$$. Теперь вычтем их: $$(4 + \sqrt{15}) - (4 - \sqrt{15}) = 4 + \sqrt{15} - 4 + \sqrt{15} = 2\sqrt{15}$$. Д) $$(8-2\sqrt{15})(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2$$ Сначала возведём в квадрат скобку $$( \sqrt{5} + \sqrt{3} )^2$$: $$( \sqrt{5} + \sqrt{3} )^2 = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15}$$. Теперь подставим это обратно в выражение: $$(8-2\sqrt{15})(8+2\sqrt{15})$$. Это снова формула разности квадратов! $$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$$. Здесь $$a=8$$ и $$b=2\sqrt{15}$$. Значит, $$(8-2\sqrt{15})(8+2\sqrt{15}) = 8^2 - (2\sqrt{15})^2 = 64 - (2^2 \cdot (\sqrt{15})^2) = 64 - (4 \cdot 15) = 64 - 60 = 4$$. Е) $$(\sqrt{6}-\sqrt{2})(8+\sqrt{12})$$ Сначала упростим корень $$\sqrt{12}$$. Мы знаем, что $$12 = 4 \cdot 3$$, поэтому $$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$$. Теперь подставим это в выражение: $$(\sqrt{6}-\sqrt{2})(8+2\sqrt{3})$$. Теперь нужно раскрыть скобки, умножая каждое слагаемое из первой скобки на каждое слагаемое из второй: $$ \sqrt{6} \cdot 8 + \sqrt{6} \cdot 2\sqrt{3} - \sqrt{2} \cdot 8 - \sqrt{2} \cdot 2\sqrt{3} $$ $$ = 8\sqrt{6} + 2\sqrt{18} - 8\sqrt{2} - 2\sqrt{6} $$ Теперь упростим $$\sqrt{18}$$: $$18 = 9 \cdot 2$$, поэтому $$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$$. Подставим это обратно: $$8\sqrt{6} + 2(3\sqrt{2}) - 8\sqrt{2} - 2\sqrt{6} $$ $$ = 8\sqrt{6} + 6\sqrt{2} - 8\sqrt{2} - 2\sqrt{6} $$ Теперь сгруппируем похожие корни: $$ (8\sqrt{6} - 2\sqrt{6}) + (6\sqrt{2} - 8\sqrt{2}) $$ $$ = (8-2)\sqrt{6} + (6-8)\sqrt{2} $$ $$ = 6\sqrt{6} - 2\sqrt{2} $$ **Ответ:** А) **3** Б) **$$\frac{1}{2}$$** В) **$$-2\sqrt{15}$$** Г) **$$2\sqrt{15}$$** Д) **4** Е) **$$6\sqrt{6} - 2\sqrt{2}$$**