Упрости выражения А) $$\frac{(3\sqrt{5})^2}{15}$$

Привет! Давай вместе упростим эти выражения. Главное — внимательность и знание формул :) А) $$\frac{(3\sqrt{5})^2}{15}$$ Сначала возведём в квадрат числитель. Помни, что $(ab)^2 = a^2b^2$: $$(3\sqrt{5})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$$ Теперь подставим это число обратно в дробь: $$\frac{45}{15} = 3$$ **Ответ: 3** Б) $$\frac{6}{(2\sqrt{3})^2}$$ Здесь тоже сначала возведём в квадрат знаменатель: $$(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$$ Теперь подставим это число обратно в дробь: $$\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$ **Ответ: 0,5** В) $$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$$ Чтобы вычесть дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет $$( \sqrt{5}+\sqrt{3} ) ( \sqrt{5}-\sqrt{3} )$$. Это формула разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$. Значит, общий знаменатель равен $$(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$$. Теперь приведём дроби к общему знаменателю: Первая дробь: умножим числитель и знаменатель на $$\sqrt{5}-\sqrt{3}$$ $$\frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3}) (\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3}) (\sqrt{5}-\sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}{2}$$ Вторая дробь: умножим числитель и знаменатель на $$\sqrt{5}+\sqrt{3}$$ $$\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3}) (\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3}) (\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}{2}$$ Теперь вычтем дроби. Используем формулы квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $$(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 - 2\sqrt{15} + 3 = 8 - 2\sqrt{15}$$ $$(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15}$$ Подставляем это в наше выражение: $$\frac{8 - 2\sqrt{15}}{2} - \frac{8 + 2\sqrt{15}}{2} = \frac{8 - 2\sqrt{15} - (8 + 2\sqrt{15})}{2} = \frac{8 - 2\sqrt{15} - 8 - 2\sqrt{15}}{2}$$ $$ = \frac{-4\sqrt{15}}{2} = -2\sqrt{15}$$ **Ответ: $$-2\sqrt{15}$$** Г) $$\frac{\sqrt{10} + \sqrt{6}}{\sqrt{10} - \sqrt{6}} - \frac{\sqrt{10} - \sqrt{6}}{\sqrt{10} + \sqrt{6}}$$ Это очень похоже на предыдущий пример! Общий знаменатель также будет разностью квадратов: $$(\sqrt{10} - \sqrt{6})(\sqrt{10} + \sqrt{6}) = (\sqrt{10})^2 - (\sqrt{6})^2 = 10 - 6 = 4$$ Приведём дроби к общему знаменателю: Первая дробь: умножим на $$\sqrt{10}+\sqrt{6}$$ $$\frac{(\sqrt{10}+\sqrt{6})^2}{4} = \frac{(\sqrt{10})^2 + 2\sqrt{10}\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2}{4} = \frac{10 + 2\sqrt{60} + 6}{4} = \frac{16 + 2\sqrt{4 \cdot 15}}{4} = \frac{16 + 2 \cdot 2\sqrt{15}}{4} = \frac{16 + 4\sqrt{15}}{4}$$ Вторая дробь: умножим на $$\sqrt{10}-\sqrt{6}$$ $$\frac{(\sqrt{10}-\sqrt{6})^2}{4} = \frac{(\sqrt{10})^2 - 2\sqrt{10}\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2}{4} = \frac{10 - 2\sqrt{60} + 6}{4} = \frac{16 - 2\sqrt{4 \cdot 15}}{4} = \frac{16 - 2 \cdot 2\sqrt{15}}{4} = \frac{16 - 4\sqrt{15}}{4}$$ Теперь вычитаем: $$\frac{16 + 4\sqrt{15}}{4} - \frac{16 - 4\sqrt{15}}{4} = \frac{16 + 4\sqrt{15} - (16 - 4\sqrt{15})}{4} = \frac{16 + 4\sqrt{15} - 16 + 4\sqrt{15}}{4}$$ $$ = \frac{8\sqrt{15}}{4} = 2\sqrt{15}$$ **Ответ: $$2\sqrt{15}$$** Д) $$(8-2\sqrt{15})(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2$$ Сначала возведём в квадрат вторую скобку по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $$(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15}$$ Теперь подставим это обратно в выражение: $$(8-2\sqrt{15})(8+2\sqrt{15})$$ Это похоже на формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$, где $$a=8$$ и $$b=2\sqrt{15}$$. Применяем формулу: $$8^2 - (2\sqrt{15})^2 = 64 - (2^2 \cdot (\sqrt{15})^2) = 64 - (4 \cdot 15) = 64 - 60 = 4$$ **Ответ: 4** Е) $$(\sqrt{6}-\sqrt{2})(8+\sqrt{12})$$ Сначала упростим $$\sqrt{12}$$ во второй скобке: $$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$$ Теперь подставим это обратно в выражение: $$(\sqrt{6}-\sqrt{2})(8+2\sqrt{3})$$ Теперь раскроем скобки, умножая каждое число из первой скобки на каждое число из второй: $$\sqrt{6} \cdot 8 + \sqrt{6} \cdot 2\sqrt{3} - \sqrt{2} \cdot 8 - \sqrt{2} \cdot 2\sqrt{3}$$ $$ = 8\sqrt{6} + 2\sqrt{18} - 8\sqrt{2} - 2\sqrt{6}$$ Теперь упростим $$\sqrt{18}$$. Помни, что $$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$$ Подставим это обратно: $$ = 8\sqrt{6} + 2(3\sqrt{2}) - 8\sqrt{2} - 2\sqrt{6}$$ $$ = 8\sqrt{6} + 6\sqrt{2} - 8\sqrt{2} - 2\sqrt{6}$$ Теперь сгруппируем похожие слагаемые (те, у которых одинаковые корни): $$(8\sqrt{6} - 2\sqrt{6}) + (6\sqrt{2} - 8\sqrt{2})$$ $$ = (8-2)\sqrt{6} + (6-8)\sqrt{2}$$ $$ = 6\sqrt{6} - 2\sqrt{2}$$ **Ответ: $$6\sqrt{6} - 2\sqrt{2} $$**