Реши неравенство $\sqrt{x^2-5x+6} < \sqrt{4x-14}$ и $\sqrt{2x^2+6x+3} \ge \sqrt{-x^2-4x}$.

Привет! Давай разберёмся с этими неравенствами. Когда у нас есть корни, нужно быть очень внимательным, потому что под корнем не может быть отрицательных чисел. Это наше главное правило! 3) $$\sqrt{x^2-5x+6} < \sqrt{4x-14}$$ Сначала мы должны убедиться, что выражения под корнями неотрицательны (больше или равны нулю): а) $x^2-5x+6 \ge 0$ Найдём корни квадратного уравнения $x^2-5x+6=0$. Можно использовать формулу Виета: сумма корней равна 5, произведение равно 6. Это числа 2 и 3. Значит, $x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)$. Парабола с ветвями вверх, поэтому она больше или равна нулю, когда $x \le 2$ или $x \ge 3$. б) $4x-14 \ge 0$ $4x \ge 14$ $x \ge \frac{14}{4}$ $x \ge 3.5$ Теперь, когда мы знаем, что обе части неравенства определены, мы можем возвести обе части в квадрат (поскольку обе части неотрицательны, знак неравенства не изменится): $x^2-5x+6 < 4x-14$ $x^2-5x-4x+6+14 < 0$ $x^2-9x+20 < 0$ Найдём корни квадратного уравнения $x^2-9x+20=0$. Снова по Виета: сумма корней равна 9, произведение равно 20. Это числа 4 и 5. Значит, $x^2-9x+20 = (x-4)(x-5)$. Парабола с ветвями вверх, поэтому она меньше нуля, когда $4 < x < 5$. Теперь нам нужно найти пересечение всех условий: 1) $x \le 2$ или $x \ge 3$ 2) $x \ge 3.5$ 3) $4 < x < 5$ Давай посмотрим на числовую прямую: ----(--2--)--[--3---3.5---)---4---5---)---> X Первое условие: (-\infty; 2] $\cup$ [3; +\infty) Второе условие: [3.5; +\infty) Третье условие: (4; 5) Пересечение этих трёх условий будет (4; 5). **Ответ:** $(4; 5)$ 4) $$\sqrt{2x^2+6x+3} \ge \sqrt{-x^2-4x}$$ Как и в предыдущем примере, сначала убедимся, что выражения под корнями неотрицательны: а) $2x^2+6x+3 \ge 0$ Найдём корни уравнения $2x^2+6x+3=0$ с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 36 - 24 = 12$ $\sqrt{D} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{3}}{2 \cdot 2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{3}}{2}$ Примерно $\sqrt{3} \approx 1.732$, поэтому: $x_1 \approx \frac{-3 - 1.732}{2} = \frac{-4.732}{2} = -2.366$ $x_2 \approx \frac{-3 + 1.732}{2} = \frac{-1.268}{2} = -0.634$ Парабола $2x^2+6x+3$ с ветвями вверх, значит, она больше или равна нулю, когда $x \le \frac{-3 - \sqrt{3}}{2}$ или $x \ge \frac{-3 + \sqrt{3}}{2}$. б) $-x^2-4x \ge 0$ Вынесем $-x$ за скобки: $-x(x+4) \ge 0$ Чтобы произведение было неотрицательным, множители должны быть разных знаков или оба равны нулю. Если $-x = 0$, то $x=0$. Если $x+4 = 0$, то $x=-4$. Это парабола с ветвями вниз, которая пересекает ось X в точках -4 и 0. Она больше или равна нулю между этими точками, то есть $ -4 \le x \le 0$. Теперь, когда мы знаем, что обе части неравенства определены, мы можем возвести обе части в квадрат (так как обе части неотрицательны, знак неравенства не изменится): $2x^2+6x+3 \ge -x^2-4x$ $2x^2+x^2+6x+4x+3 \ge 0$ $3x^2+10x+3 \ge 0$ Найдём корни уравнения $3x^2+10x+3=0$ с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$ $\sqrt{D} = \sqrt{64} = 8$ $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm 8}{2 \cdot 3} = \frac{-10 \pm 8}{6}$ $x_1 = \frac{-10 - 8}{6} = \frac{-18}{6} = -3$ $x_2 = \frac{-10 + 8}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$ Парабола $3x^2+10x+3$ с ветвями вверх, значит, она больше или равна нулю, когда $x \le -3$ или $x \ge -\frac{1}{3}$. Теперь нам нужно найти пересечение всех условий: 1) $x \le \frac{-3 - \sqrt{3}}{2}$ (примерно -2.366) или $x \ge \frac{-3 + \sqrt{3}}{2}$ (примерно -0.634) 2) $-4 \le x \le 0$ 3) $x \le -3$ или $x \ge -\frac{1}{3}$ (примерно -0.333) Давай посмотрим на числовую прямую: ----[-4---(-3)--($\frac{-3-\sqrt{3}}{2}$)---($-\frac{1}{3}$)--($\frac{-3+\sqrt{3}}{2}$)---0---]---> X Первое условие: $(-\infty; \frac{-3 - \sqrt{3}}{2}]$ $\cup$ $[\frac{-3 + \sqrt{3}}{2}; +\infty)$ Второе условие: $[-4; 0]$ Третье условие: $(-\infty; -3]$ $\cup$ $[-\frac{1}{3}; +\infty)$ Совместим все условия: - Условие 1 (приблизительно): $(-\infty; -2.366]$ $\cup$ $[-0.634; +\infty)$ - Условие 2: $[-4; 0]$ - Условие 3 (приблизительно): $(-\infty; -3]$ $\cup$ $[-0.333; +\infty)$ Найдём пересечение: 1. Пересечение условий 1 и 2: $[-4; -2.366]$ $\cup$ $[-0.634; 0]$ 2. Теперь пересечём это с условием 3: Для части $[-4; -2.366]$: Пересекается с $(-\infty; -3]$: $[-4; -3]$ Не пересекается с $[-0.333; +\infty)$ Для части $[-0.634; 0]$: Не пересекается с $(-\infty; -3]$ Пересекается с $[-0.333; +\infty)$: $[-0.333; 0]$ (так как $-0.634 < -0.333$) Таким образом, общее пересечение: $[-4; -3]$ $\cup$ $[-\frac{1}{3}; 0]$ **Ответ:** $[-4; -3] \cup [-\frac{1}{3}; 0]$