Разложи многочлен $b^{10} - 25b^8 - 40b^4 - 16$ на множители

Привет! Давай попробуем разложить этот многочлен на множители. Это может быть немного сложно, но мы справимся! д) $b^{10} - 25b^8 - 40b^4 - 16$ Смотри, это выражение выглядит как формула $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, только наоборот. Попробуем перегруппировать члены, чтобы увидеть что-то похожее: $b^{10} - 25b^8 - 40b^4 - 16 = b^8(b^2 - 25) - (40b^4 + 16)$ Это не очень помогло, да? Давай попробуем по-другому. Заметим, что $b^{10} = (b^5)^2$ и $16 = 4^2$. А вот $25b^8$ и $40b^4$ мешают. Но что, если мы посмотрим на $b^{10} - 40b^4 - 16$ отдельно? Это тоже не очень похоже на формулу квадрата разности. А что, если мы посмотрим на $b^8(b^2 - 25)$? Тут есть разность квадратов: $b^2 - 25 = (b-5)(b+5)$. Давай попробуем заметить, что $b^{10} - 25b^8 = b^8(b^2 - 25)$. И у нас остаётся $-(40b^4 + 16)$. Это не очень похоже на что-то, что легко раскладывается. Но есть один трюк, который часто помогает! Давай попробуем представить это как разность квадратов, используя $b^{10}$ и $16$ как части. Но $b^{10}$ - это $b^{2 \cdot 5}$, а $b^4$ - это $b^{2 \cdot 2}$. Может быть, это что-то вроде $(b^5 - 20b^4)^2$? Нет, так не работает. Давай попробуем переписать $b^{10} - 25b^8 - 40b^4 - 16$ как $b^{10} - 25b^8 - (40b^4 + 16)$. Иногда нужно немножко поиграть с числами. Смотри, $b^{10}$ и $16$ — это квадраты. $b^5$ в квадрате, и $4$ в квадрате. А $40b^4$ похоже на $2ab$. Если $a = b^5$, а $b = 4$, то $2ab = 2 \cdot b^5 \cdot 4 = 8b^5$. Это не то. Но что если мы попробуем представить это как $(b^5 - X)^2$ или $(b^4 - Y)^2$? Давай ещё раз посмотрим на $b^{10} - 25b^8 - 40b^4 - 16$. Может быть, это $(b^5 - 4)^2 - 25b^8 - 8b^5 = b^{10} - 8b^5 + 16 - 25b^8 - 8b^5 = b^{10} - 25b^8 - 16b^5 + 16$. Не совсем то. Попробуем найти квадрат какого-нибудь двучлена. Если мы вынесем $b^4$ за скобки из последних двух членов, получим $b^{10} - 25b^8 - b^4(40 + 16/b^4)$. Это тоже не упрощает. Давай внимательно посмотрим на числа: $25$, $40$, $16$. Заметим, что $b^{10} - 25b^8 - 40b^4 - 16 = b^{10} - (25b^8 + 40b^4 + 16)$. И вот тут начинается самое интересное! Выражение в скобках $25b^8 + 40b^4 + 16$ очень похоже на полный квадрат! Давай проверим: $25b^8 = (5b^4)^2$ (это $a^2$) $16 = 4^2$ (это $b^2$) Теперь проверим средний член $2ab = 2 \cdot (5b^4) \cdot 4 = 2 \cdot 20b^4 = 40b^4$. Точно! Это полный квадрат: $(5b^4 + 4)^2$. Тогда наше выражение превращается в: $b^{10} - (5b^4 + 4)^2$ А это уже разность квадратов! $(a^2 - B^2) = (a - B)(a + B)$. Здесь $a = b^5$ (потому что $b^{10} = (b^5)^2$) и $B = (5b^4 + 4)$. Получаем: $ (b^5 - (5b^4 + 4))(b^5 + (5b^4 + 4)) $ Раскрываем скобки: $ (b^5 - 5b^4 - 4)(b^5 + 5b^4 + 4) $ Вот и всё! Мы разложили многочлен на множители. **Ответ:** $(b^5 - 5b^4 - 4)(b^5 + 5b^4 + 4)$