Решение логарифмических уравнений из изображения

Привет! Давай решим эти уравнения вместе.

1. log2(4x + 5) = log2(9 - 2x)

Если логарифмы равны, то и выражения под логарифмами тоже равны. Поэтому:

4x + 5 = 9 - 2x

Переносим известные в одну сторону, неизвестные в другую:

4x + 2x = 9 - 5

6x = 4

x = 4/6 = 2/3

Проверяем, чтобы выражения под логарифмами были положительными:

4*(2/3) + 5 = 8/3 + 15/3 = 23/3 > 0

9 - 2*(2/3) = 27/3 - 4/3 = 23/3 > 0

Ответ: x = 2/3

2. log3(x2 - 5x - 23) = 0

Вспоминаем, что любое число в нулевой степени равно 1, значит:

x2 - 5x - 23 = 30

x2 - 5x - 23 = 1

x2 - 5x - 24 = 0

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

D = (-5)2 - 4 * 1 * (-24) = 25 + 96 = 121

x1 = (5 + √121) / 2 = (5 + 11) / 2 = 16 / 2 = 8

x2 = (5 - √121) / 2 = (5 - 11) / 2 = -6 / 2 = -3

Проверяем, чтобы выражение под логарифмом было положительным:

Для x = 8: 82 - 5*8 - 23 = 64 - 40 - 23 = 1 > 0

Для x = -3: (-3)2 - 5*(-3) - 23 = 9 + 15 - 23 = 1 > 0

Ответ: x1 = 8, x2 = -3

3. lg(x + 2) + lg(x - 2) = lg(5x + 10)

Используем свойство логарифмов: сумма логарифмов равна логарифму произведения:

lg((x + 2)(x - 2)) = lg(5x + 10)

lg(x2 - 4) = lg(5x + 10)

Если логарифмы равны, то и выражения под логарифмами тоже равны:

x2 - 4 = 5x + 10

x2 - 5x - 14 = 0

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

D = (-5)2 - 4 * 1 * (-14) = 25 + 56 = 81

x1 = (5 + √81) / 2 = (5 + 9) / 2 = 14 / 2 = 7

x2 = (5 - √81) / 2 = (5 - 9) / 2 = -4 / 2 = -2

Проверяем, чтобы выражения под логарифмами были положительными:

Для x = 7:

x + 2 = 7 + 2 = 9 > 0

x - 2 = 7 - 2 = 5 > 0

5x + 10 = 5*7 + 10 = 45 > 0

Для x = -2:

x + 2 = -2 + 2 = 0 (не подходит, т.к. логарифм от 0 не существует)

Ответ: x = 7

1. lg(5x - 4) = lg(1 - x)

Если логарифмы равны, то и выражения под логарифмами тоже равны:

5x - 4 = 1 - x

5x + x = 1 + 4

6x = 5

x = 5/6

Проверяем, чтобы выражения под логарифмами были положительными:

5*(5/6) - 4 = 25/6 - 24/6 = 1/6 > 0

1 - (5/6) = 6/6 - 5/6 = 1/6 > 0

Ответ: x = 5/6

2. log1/3(x2 + 3x - 9) = -2

Представим -2 как логарифм по основанию 1/3:

log1/3(x2 + 3x - 9) = log1/3((1/3)-2)

log1/3(x2 + 3x - 9) = log1/3(32)

log1/3(x2 + 3x - 9) = log1/3(9)

Если логарифмы равны, то и выражения под логарифмами тоже равны:

x2 + 3x - 9 = 9

x2 + 3x - 18 = 0

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

D = 32 - 4 * 1 * (-18) = 9 + 72 = 81

x1 = (-3 + √81) / 2 = (-3 + 9) / 2 = 6 / 2 = 3

x2 = (-3 - √81) / 2 = (-3 - 9) / 2 = -12 / 2 = -6

Проверяем, чтобы выражение под логарифмом было положительным:

Для x = 3: 32 + 3*3 - 9 = 9 + 9 - 9 = 9 > 0

Для x = -6: (-6)2 + 3*(-6) - 9 = 36 - 18 - 9 = 9 > 0

Ответ: x1 = 3, x2 = -6

3. 1 + log2(x + 1) = log2(7x + 2) - log2(x - 1)

Представим 1 как логарифм по основанию 2:

log2(2) + log2(x + 1) = log2(7x + 2) - log2(x - 1)

Используем свойства логарифмов: сумма логарифмов равна логарифму произведения, разность логарифмов равна логарифму частного:

log2(2(x + 1)) = log2((7x + 2) / (x - 1))

Если логарифмы равны, то и выражения под логарифмами тоже равны:

2(x + 1) = (7x + 2) / (x - 1)

2x + 2 = (7x + 2) / (x - 1)

(2x + 2)(x - 1) = 7x + 2

2x2 - 2x + 2x - 2 = 7x + 2

2x2 - 7x - 4 = 0

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

D = (-7)2 - 4 * 2 * (-4) = 49 + 32 = 81

x1 = (7 + √81) / 4 = (7 + 9) / 4 = 16 / 4 = 4

x2 = (7 - √81) / 4 = (7 - 9) / 4 = -2 / 4 = -1/2

Проверяем, чтобы выражения под логарифмами были положительными:

Для x = 4:

x + 1 = 4 + 1 = 5 > 0

7x + 2 = 7*4 + 2 = 30 > 0

x - 1 = 4 - 1 = 3 > 0

Для x = -1/2:

x + 1 = -1/2 + 1 = 1/2 > 0

7x + 2 = 7*(-1/2) + 2 = -7/2 + 4/2 = -3/2 < 0 (не подходит)

x - 1 = -1/2 - 1 = -3/2 < 0 (не подходит)

Ответ: x = 4

Надеюсь, теперь тебе всё понятно!