реши

Давай решим эти задачи по порядку!

Задача 2: Область определения функции

Чтобы найти область определения функции f(x) = √(25 - x²) / (x + 7), нужно учесть два условия:

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: 25 - x² ≥ 0.
2. Знаменатель не должен быть равен нулю: x + 7 ≠ 0.

Решим первое неравенство: 25 - x² ≥ 0. Это можно переписать как x² ≤ 25. Значит, -5 ≤ x ≤ 5.

Решим второе условие: x + 7 ≠ 0, следовательно, x ≠ -7.

Объединяя оба условия, получаем, что x должен быть в диапазоне от -5 до 5 включительно, но не должен быть равен -7. Так как -7 не входит в диапазон от -5 до 5, то просто указываем этот диапазон.

Ответ: Область определения функции: -5 ≤ x ≤ 5 или [-5; 5].

Задача 3: Решение уравнения

Решим уравнение log₃(10 - x²) = log₃(3x).

Так как логарифмы по одинаковому основанию равны, то можно приравнять аргументы: 10 - x² = 3x.

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: x² + 3x - 10 = 0.

Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. Найдем корни: x₁ = 2 и x₂ = -5.

Теперь проверим, подходят ли эти корни в исходное уравнение. Логарифм существует только для положительных чисел, поэтому нужно проверить, чтобы 10 - x² > 0 и 3x > 0.

• Для x = 2: 10 - 2² = 6 > 0 и 3 * 2 = 6 > 0. Значит, x = 2 - корень.
• Для x = -5: 10 - (-5)² = -15 < 0. Значит, x = -5 не является корнем.

Ответ: x = 2

Задача 4: Решение неравенства

Решим неравенство 6^(2x) - 4 * 6^x - 12 > 0.

Пусть y = 6^x. Тогда неравенство примет вид: y² - 4y - 12 > 0.

Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения y² - 4y - 12 = 0. Корни: y₁ = 6 и y₂ = -2.

Теперь решим неравенство y² - 4y - 12 > 0. Так как это парабола с ветвями вверх, то решение будет y < -2 или y > 6.

Вернемся к замене: 6^x < -2 или 6^x > 6.

6^x не может быть меньше -2, так как 6 в любой степени положительное число. Значит, остается только 6^x > 6.

Так как 6^1 = 6, то 6^x > 6, если x > 1.

Ответ: x > 1

Задача 5: Банковский вклад

Пусть первоначальная сумма вклада равна S. Процентная ставка 8% годовых. Через 2 года сумма составит 40824 рубля.

Формула для расчета сложного процента: S * (1 + процентная ставка / 100)^количество лет = конечная сумма.

В нашем случае: S * (1 + 8/100)² = 40824.

S * (1.08)² = 40824.

S * 1.1664 = 40824.

S = 40824 / 1.1664.

S = 35000.

Ответ: Первоначальная сумма вклада должна быть 35000 рублей.

Задача 6: Сечение куба

Площадь сечения куба ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью ACD₁ равна 32√3 см².

а) Найдем диагональ куба.

Сечение ACD₁ - это равнобедренный треугольник. AC и AD₁ - диагонали граней куба. CD₁ - тоже диагональ грани куба.

Площадь треугольника можно найти по формуле S = (1/2) * a * b * sin(γ), где a и b - стороны, γ - угол между ними.

Пусть сторона куба равна a. Тогда диагональ грани равна a√2. Угол между диагоналями граней в сечении равен 60 градусов (треугольник равносторонний).

Тогда площадь сечения равна (1/2) * (a√2) * (a√2) * sin(60°) = 32√3.

(1/2) * 2a² * (√3/2) = 32√3.

a² * (√3/2) = 32√3.

a² = 32√3 * (2/√3).

a² = 64.

a = 8 (сторона куба).

Диагональ куба равна a√3 = 8√3.

Ответ: Диагональ куба равна 8√3 см.

б) Найдем площадь сечения куба плоскостью ABC₁.

Сечение ABC₁ - прямоугольник со сторонами AB = a и BC₁ = a√2.

Площадь сечения равна a * a√2 = a²√2 = 64√2.

Ответ: Площадь сечения куба плоскостью ABC₁ равна 64√2 см².