Решить уравнения

Привет! Давай решим эти уравнения. Я постараюсь объяснить каждый шаг, чтобы было понятно.

1. a) cos x = -1

   • Это уравнение говорит нам, при каком угле косинус равен -1. Вспоминаем единичную окружность.
   • Косинус равен -1 в точке, где угол x = π + 2πk, где k - целое число.
   • Ответ: x = π + 2πk, k ∈ Z

2. б) sin x = √2 / 2

   • Синус равен √2 / 2 при углах 45° (π/4) и 135° (3π/4).
   • Значит, x = π/4 + 2πk или x = 3π/4 + 2πk, где k - целое число.
   • Ответ: x = π/4 + 2πk, x = 3π/4 + 2πk, k ∈ Z

3. в) ctg x = -√3

   • Котангенс - это cos x / sin x. Он равен -√3 в тех точках, где отношение косинуса к синусу даёт -√3.
   • Это происходит при угле 5π/6 + πk, где k - целое число.
   • Ответ: x = 5π/6 + πk, k ∈ Z

4. а) sin^2 x + sin x - 2 = 0

   • Давай сделаем замену: y = sin x. Тогда уравнение станет y^2 + y - 2 = 0.
   • Решаем квадратное уравнение: (y + 2)(y - 1) = 0. Отсюда y = -2 или y = 1.
   • Возвращаемся к синусу: sin x = -2 (невозможно, так как синус всегда между -1 и 1) или sin x = 1.
   • Синус равен 1 при x = π/2 + 2πk, где k - целое число.
   • Ответ: x = π/2 + 2πk, k ∈ Z

5. б) 3 sin^2 x - cos x + 1 = 0

   • Используем основное тригонометрическое тождество: sin^2 x = 1 - cos^2 x.
   • Тогда уравнение станет: 3(1 - cos^2 x) - cos x + 1 = 0, или 3 - 3cos^2 x - cos x + 1 = 0.
   • Перепишем: 3cos^2 x + cos x - 4 = 0. Сделаем замену: y = cos x.
   • Получаем: 3y^2 + y - 4 = 0. Решаем квадратное уравнение.
   • Находим корни: y = 1 и y = -4/3.
   • cos x = 1 при x = 2πk, где k - целое число. cos x = -4/3 не имеет решений, так как косинус всегда между -1 и 1.
   • Ответ: x = 2πk, k ∈ Z

6. а) sin x - cos x = 0

   • Переносим косинус вправо: sin x = cos x.
   • Делим обе части на cos x (если cos x ≠ 0): tg x = 1.
   • Тангенс равен 1 при x = π/4 + πk, где k - целое число.
   • Ответ: x = π/4 + πk, k ∈ Z

7. б) 3 sin^2 x + 2√3 sin x cos x + cos^2 x = 0

   • Заметим, что это похоже на квадрат суммы: (√3 sin x + cos x)^2 = 0.
   • Тогда √3 sin x + cos x = 0.
   • Переносим: √3 sin x = -cos x.
   • Делим на cos x (если cos x ≠ 0): √3 tg x = -1.
   • tg x = -1/√3. Это происходит при x = -π/6 + πk, где k - целое число.
   • Ответ: x = -π/6 + πk, k ∈ Z

8. а) sin x = -0.5

   • Синус равен -0.5 (или -1/2) при углах 7π/6 и 11π/6.
   • Ответ: x = 7π/6 + 2πk, x = 11π/6 + 2πk, k ∈ Z

9. б) cos x = 1/3

   • Чтобы найти x, нужно взять арккосинус: x = arccos(1/3).
   • Учитываем периодичность: x = ±arccos(1/3) + 2πk, где k - целое число.
   • Ответ: x = ±arccos(1/3) + 2πk, k ∈ Z

10. в) tg x = -3

    • Чтобы найти x, берем арктангенс: x = arctg(-3).
    • Учитываем периодичность: x = arctg(-3) + πk, где k - целое число.
    • Ответ: x = arctg(-3) + πk, k ∈ Z

Надеюсь, теперь все понятно! Если что, спрашивай ещё.