реши

Конечно, давай решим эти задания!

Задание 76 (а):

Функция f(x) = x^2 + 2x. Нужно доказать, что она убывает на промежутке (-∞; -2] и возрастает на промежутке [0; +∞).

Для этого найдем производную функции f(x):

f'(x) = 2x + 2

Теперь посмотрим на знак производной на заданных промежутках:

• На промежутке (-∞; -2]: Возьмем любое значение x из этого промежутка, например, x = -3. Тогда f'(-3) = 2*(-3) + 2 = -6 + 2 = -4. Так как f'(-3) < 0, то функция убывает на этом промежутке.
• На промежутке [0; +∞): Возьмем любое значение x из этого промежутка, например, x = 1. Тогда f'(1) = 2*(1) + 2 = 2 + 2 = 4. Так как f'(1) > 0, то функция возрастает на этом промежутке.

Таким образом, мы доказали, что функция f(x) = x^2 + 2x убывает на промежутке (-∞; -2] и возрастает на промежутке [0; +∞).

Задание 76 (б):

Функция g(x) = x^3 + x - 7. Нужно доказать, что она возрастает на множестве R (все действительные числа).

Найдем производную функции g(x):

g'(x) = 3x^2 + 1

Так как x^2 всегда неотрицательно (x^2 >= 0), то 3x^2 тоже всегда неотрицательно (3x^2 >= 0). Значит, 3x^2 + 1 всегда больше 0 (3x^2 + 1 > 0).

Поскольку g'(x) > 0 для любого x, функция g(x) возрастает на всей числовой прямой R.

Ответ: Мы доказали, что функция f(x) = x^2 + 2x убывает на промежутке (-∞; -2] и возрастает на промежутке [0; +∞), а функция g(x) = x^3 + x - 7 возрастает на множестве R.