реши эти задачи

Привет! Давай вместе решим эти задания.

1. Решите уравнение: x² + 4x - 5 = 0

Это квадратное уравнение. Можно решить его через дискриминант или теорему Виета. Давай попробуем через Виета.

Сумма корней равна -4, а произведение равно -5. Какие числа подходят? Это 1 и -5.

Ответ: x₁ = 1, x₂ = -5

2. Упростите выражение: (4x² - 9)/(x² - 6x + 9) * (x - 3)/(2x + 3)

Сначала разложим на множители:

• 4x² - 9 = (2x - 3)(2x + 3) (это разность квадратов)
• x² - 6x + 9 = (x - 3)² (это полный квадрат)

Теперь перепишем выражение:

((2x - 3)(2x + 3))/((x - 3)²) * (x - 3)/(2x + 3)

Сокращаем (2x + 3) и (x - 3):

(2x - 3) / (x - 3)

Ответ: (2x - 3) / (x - 3)

3. Решите систему уравнений: x + 3y = 7 x² + y = 5

Выразим x из первого уравнения: x = 7 - 3y

Подставим это во второе уравнение: (7 - 3y)² + y = 5

Раскроем скобки: 49 - 42y + 9y² + y = 5

Приведем подобные слагаемые: 9y² - 41y + 44 = 0

Решим квадратное уравнение относительно y. Дискриминант D = (-41)² - 4 * 9 * 44 = 1681 - 1584 = 97

y₁ = (41 + √97) / 18 y₂ = (41 - √97) / 18

Теперь найдем x для каждого значения y:

x₁ = 7 - 3 * (41 + √97) / 18 = (126 - 123 - √97) / 6 = (3 - √97) / 6 x₂ = 7 - 3 * (41 - √97) / 18 = (126 - 123 + √97) / 6 = (3 + √97) / 6

Ответ: x₁ = (3 - √97) / 6, y₁ = (41 + √97) / 18; x₂ = (3 + √97) / 6, y₂ = (41 - √97) / 18

4. Постройте график функции y = -3/x. Укажите её свойства.

Это гипербола. График состоит из двух ветвей, расположенных во 2-й и 4-й четвертях.

• Область определения: x ≠ 0
• Область значений: y ≠ 0
• Функция не является ни четной, ни нечетной.
• Функция убывает на каждом из интервалов (-∞; 0) и (0; +∞)

5. Решите неравенство: (x + 2)(x - 5) ≤ 0

Найдем нули функции: x = -2 и x = 5. На числовой прямой отметим эти точки:

----(-2)----(5)-----> X

Определим знаки на каждом интервале:

• x < -2: (-)(-) = +
• -2 < x < 5: (+)(-) = -
• x > 5: (+)(+) = +

Нам нужно, где выражение меньше или равно нулю.

Ответ: x ∈ [-2; 5]

6. Упростите выражение: √27 - 3√12 + 2√48

Разложим корни:

• √27 = √(9 * 3) = 3√3
• √12 = √(4 * 3) = 2√3
• √48 = √(16 * 3) = 4√3

Подставим: 3√3 - 3 * 2√3 + 2 * 4√3 = 3√3 - 6√3 + 8√3 = 5√3

Ответ: 5√3

7. Решите задачу:

Пусть x - собственная скорость лодки. Тогда скорость по течению x + 3, против течения x - 3.

Время по течению: 28 / (x + 3) Время против течения: 25 / (x - 3)

Суммарное время: 28 / (x + 3) + 25 / (x - 3) = 9

Приведем к общему знаменателю: (28(x - 3) + 25(x + 3)) / ((x + 3)(x - 3)) = 9 (28x - 84 + 25x + 75) / (x² - 9) = 9 53x - 9 = 9(x² - 9) 53x - 9 = 9x² - 81 9x² - 53x - 72 = 0

D = (-53)² - 4 * 9 * (-72) = 2809 + 2592 = 5401 x₁ = (53 + √5401) / 18 x₂ = (53 - √5401) / 18 (не подходит, т.к. будет отрицательным)

Поскольку √5401 примерно равно 73.5, то: x₁ ≈ (53 + 73.5) / 18 ≈ 126.5 / 18 ≈ 7.03

Ответ: Собственная скорость лодки примерно 7.03 км/ч

8. Вычислите: (1/3)^(-2) - (3/4)^0 + 4^(2)

• (1/3)^(-2) = 3² = 9
• (3/4)^0 = 1
• 4² = 16

9 - 1 + 16 = 24

Ответ: 24

9. Решите уравнение: (2x - 1)/(x + 3) + (x + 2)/(x - 3) = 15/(x² - 9)

Приведем к общему знаменателю (x² - 9) = (x + 3)(x - 3):

((2x - 1)(x - 3) + (x + 2)(x + 3)) / (x² - 9) = 15 / (x² - 9)

(2x² - 6x - x + 3 + x² + 3x + 2x + 6) / (x² - 9) = 15 / (x² - 9)

(3x² - 2x + 9) / (x² - 9) = 15 / (x² - 9)

3x² - 2x + 9 = 15 3x² - 2x - 6 = 0

D = (-2)² - 4 * 3 * (-6) = 4 + 72 = 76

x₁ = (2 + √76) / 6 = (1 + √19) / 3 x₂ = (2 - √76) / 6 = (1 - √19) / 3

Ответ: x₁ = (1 + √19) / 3, x₂ = (1 - √19) / 3

10. Решите уравнение: √(2x + 3) = x - 3

Возведем обе части в квадрат:

2x + 3 = (x - 3)² 2x + 3 = x² - 6x + 9 x² - 8x + 6 = 0

D = (-8)² - 4 * 1 * 6 = 64 - 24 = 40

x₁ = (8 + √40) / 2 = (8 + 2√10) / 2 = 4 + √10 x₂ = (8 - √40) / 2 = (8 - 2√10) / 2 = 4 - √10

Проверим корни:

√(2(4 + √10) + 3) = 4 + √10 - 3 √(8 + 2√10 + 3) = 1 + √10 √(11 + 2√10) = 1 + √10 √(1 + 2√10 + 10) = 1 + √10 √(1 + √10)² = 1 + √10 1 + √10 = 1 + √10 (верно)

√(2(4 - √10) + 3) = 4 - √10 - 3 √(8 - 2√10 + 3) = 1 - √10 √(11 - 2√10) = 1 - √10 (неверно, т.к. 1 - √10 < 0, а корень не может быть отрицательным)

Ответ: x = 4 + √10