ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.31

**1)** $$ \begin{cases} x + y = 7, \\ xy = 6 \end{cases} $$ Выразим $y$ через $x$ из первого уравнения: $y = 7 - x$. Подставим полученное выражение во второе уравнение: $$ x(7 - x) = 6 $$ $$ 7x - x^2 - 6 = 0 $$ $$ x^2 - 7x + 6 = 0 $$ По теореме Виета корни квадратного уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 6$. Найдем соответствующие значения $y$: при $x_1 = 1$: $y_1 = 7 - 1 = 6$; при $x_2 = 6$: $y_2 = 7 - 6 = 1$. Ответ: $(1; 6)$, $(6; 1)$. --- **2)** $$ \begin{cases} x + 2y = 7, \\ xy = 3 \end{cases} $$ Выразим $x$ через $y$ из первого уравнения: $x = 7 - 2y$. Подставим полученное выражение во второе уравнение: $$ (7 - 2y)y = 3 $$ $$ 7y - 2y^2 = 3 $$ $$ 2y^2 - 7y + 3 = 0 $$ Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 = 5^2$. $$ y_1 = \frac{7 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3 $$ $$ y_2 = \frac{7 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0{,}5 $$ Найдем соответствующие значения $x$: при $y_1 = 3$: $x_1 = 7 - 2 \cdot 3 = 7 - 6 = 1$; при $y_2 = 0{,}5$: $x_2 = 7 - 2 \cdot 0{,}5 = 7 - 1 = 6$. Ответ: $(1; 3)$, $(6; 0{,}5)$. --- **3)** $$ \begin{cases} x - 3y = 7, \\ xy = -2 \end{cases} $$ Выразим $x$ через $y$ из первого уравнения: $x = 7 + 3y$. Подставим полученное выражение во второе уравнение: $$ (7 + 3y)y = -2 $$ $$ 7y + 3y^2 = -2 $$ $$ 3y^2 + 7y + 2 = 0 $$ Найдем дискриминант: $D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 = 5^2$. $$ y_1 = \frac{-7 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} $$ $$ y_2 = \frac{-7 - 5}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2 $$ Найдем соответствующие значения $x$: при $y_1 = -\frac{1}{3}$: $x_1 = 7 + 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = 7 - 1 = 6$; при $y_2 = -2$: $x_2 = 7 + 3 \cdot (-2) = 7 - 6 = 1$. Ответ: $\left(6; -\frac{1}{3}\right)$, $(1; -2)$. --- **4)** $$ \begin{cases} x + y + xy = 11, \\ xy(x + y) = 30 \end{cases} $$ Введем новые переменные: пусть $u = x + y$, а $v = xy$. Тогда система принимает вид: $$ \begin{cases} u + v = 11, \\ u \cdot v = 30 \end{cases} $$ По теореме, обратной теореме Виета, числа $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения: $$ t^2 - 11t + 30 = 0 $$ Корни уравнения: $t_1 = 5$, $t_2 = 6$. Следовательно, возможны два случая: 1) $\begin{cases} u = 5, \\ v = 6 \end{cases} \implies \begin{cases} x + y = 5, \\ xy = 6 \end{cases}$ Составим квадратное уравнение для $x$ и $y$: $$ z^2 - 5z + 6 = 0 $$ Корни уравнения: $z_1 = 2$, $z_2 = 3$. Отсюда получаем пары решений: $(2; 3)$ и $(3; 2)$. 2) $\begin{cases} u = 6, \\ v = 5 \end{cases} \implies \begin{cases} x + y = 6, \\ xy = 5 \end{cases}$ Составим квадратное уравнение для $x$ и $y$: $$ z^2 - 6z + 5 = 0 $$ Корни уравнения: $z_1 = 1$, $z_2 = 5$. Отсюда получаем пары решений: $(1; 5)$ и $(5; 1)$. Ответ: $(2; 3)$, $(3; 2)$, $(1; 5)$, $(5; 1)$.