ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 4 - 4.92

1) Докажем тождество: $$ \sin^2\alpha \cos^2\beta - \cos^2\alpha \sin^2\beta = \sin^2\alpha - \sin^2\beta $$ Преобразуем левую часть тождества. Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, выразим $\cos^2\beta$ и $\cos^2\alpha$ через синусы: $$ \cos^2\beta = 1 - \sin^2\beta $$ $$ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha $$ Подставим эти выражения в левую часть: $$ \sin^2\alpha (1 - \sin^2\beta) - (1 - \sin^2\alpha) \sin^2\beta $$ Раскроем скобки: $$ \sin^2\alpha - \sin^2\alpha \sin^2\beta - \sin^2\beta + \sin^2\alpha \sin^2\beta = \sin^2\alpha - \sin^2\beta $$ Получили выражение, равное правой части тождества: $\sin^2\alpha - \sin^2\beta = \sin^2\alpha - \sin^2\beta$. Тождество доказано. --- 2) Докажем тождество: $$ \cos^2\alpha \cos^2\beta - \sin^2\alpha \sin^2\beta = \cos^2\alpha - \sin^2\beta $$ Преобразуем левую часть тождества. Заменим $\cos^2\beta$ и $\sin^2\alpha$ с помощью основного тригонометрического тождества: $$ \cos^2\beta = 1 - \sin^2\beta $$ $$ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha $$ Подставим полученные выражения в левую часть: $$ \cos^2\alpha (1 - \sin^2\beta) - (1 - \cos^2\alpha) \sin^2\beta $$ Раскроем скобки: $$ \cos^2\alpha - \cos^2\alpha \sin^2\beta - \sin^2\beta + \cos^2\alpha \sin^2\beta = \cos^2\alpha - \sin^2\beta $$ Получили выражение, совпадающее с правой частью: $\cos^2\alpha - \sin^2\beta = \cos^2\alpha - \sin^2\beta$. Тождество доказано. --- 3) Докажем тождество: $$ (\sin\alpha + \sin\beta)(\sin\alpha - \sin\beta) - (\cos\alpha + \cos\beta)(\cos\beta - \cos\alpha) = 0 $$ Применим формулу разности квадратов $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ к произведениям в левой части: $$ (\sin\alpha + \sin\beta)(\sin\alpha - \sin\beta) = \sin^2\alpha - \sin^2\beta $$ $$ (\cos\alpha + \cos\beta)(\cos\beta - \cos\alpha) = (\cos\beta + \cos\alpha)(\cos\beta - \cos\alpha) = \cos^2\beta - \cos^2\alpha $$ Подставим результаты в левую часть выражения: $$ (\sin^2\alpha - \sin^2\beta) - (\cos^2\beta - \cos^2\alpha) = \sin^2\alpha - \sin^2\beta - \cos^2\beta + \cos^2\alpha $$ Сгруппируем слагаемые с одинаковыми аргументами: $$ (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) - (\sin^2\beta + \cos^2\beta) $$ По основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$: $$ 1 - 1 = 0 $$ Левая часть равна правой части: $0 = 0$. Тождество доказано. --- 4) Докажем тождество: $$ \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{\cot\alpha + \cot\beta} = \tan\alpha \tan\beta $$ Преобразуем знаменатель левой части, выразив котангенсы через тангенсы по формуле $\cot x = \frac{1}{\tan x}$: $$ \cot\alpha + \cot\beta = \frac{1}{\tan\alpha} + \frac{1}{\tan\beta} = \frac{\tan\beta + \tan\alpha}{\tan\alpha \tan\beta} = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{\tan\alpha \tan\beta} $$ Подставим полученное выражение в левую часть дроби: $$ \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{\frac{\tan\alpha + \tan\beta}{\tan\alpha \tan\beta}} = (\tan\alpha + \tan\beta) \cdot \frac{\tan\alpha \tan\beta}{\tan\alpha + \tan\beta} $$ Сократим дробь на общий множитель $(\tan\alpha + \tan\beta)$: $$ \tan\alpha \tan\beta $$ Получили выражение, равное правой части: $\tan\alpha \tan\beta = \tan\alpha \tan\beta$. Тождество доказано.