ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 2 - 2.42

Пусть первоначально в турнире было $n$ участников ($n \in \mathbb{N}$, причем $n > 3$, так как двое выбывших сыграли по три партии). После того как двое участников выбыли, в турнире осталось $n - 2$ шахматиста, которые доиграли турнир по круговой системе между собой. Число партий, сыгранных между оставшимися участниками, равно: $$ \frac{(n - 2)(n - 3)}{2} $$ Выясним, сколько партий было сыграно с участием двух выбывших шахматистов. Возможны два случая: 1. **Выбывшие шахматисты сыграли партию между собой.** В этом случае каждый из них сыграл по одной партии друг с другом и по $3 - 1 = 2$ партии с остальными участниками турнира. Тогда общее число партий с участием выбывших равно: $$ 1 + 2 + 2 = 5 $$ Составим уравнение по общему числу сыгранных партий: $$ \frac{(n - 2)(n - 3)}{2} + 5 = 16 $$ $$ \frac{(n - 2)(n - 3)}{2} = 11 $$ $$ (n - 2)(n - 3) = 22 $$ $$ n^2 - 5n + 6 - 22 = 0 $$ $$ n^2 - 5n - 16 = 0 $$ Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 25 + 64 = 89$. Так как $\sqrt{89}$ не является целым числом, данное уравнение не имеет натуральных решений. Значит, этот случай невозможен. 2. **Выбывшие шахматисты не играли партию между собой.** В этом случае каждый из них сыграл по 3 партии с кем-то из остальных $n - 2$ участников турнира. Тогда общее число партий с участием выбывших равно: $$ 3 + 3 = 6 $$ Составим уравнение: $$ \frac{(n - 2)(n - 3)}{2} + 6 = 16 $$ $$ \frac{(n - 2)(n - 3)}{2} = 10 $$ $$ (n - 2)(n - 3) = 20 $$ $$ n^2 - 5n + 6 - 20 = 0 $$ $$ n^2 - 5n - 14 = 0 $$ Решим квадратное уравнение по теореме Виета или через дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 = 9^2$ $$ n_1 = \frac{5 + 9}{2} = 7 $$ $$ n_2 = \frac{5 - 9}{2} = -2 $$ Корень $n_2 = -2$ не удовлетворяет смыслу задачи, так как количество участников — натуральное число. Таким образом, $n = 7$. Ответ: 7 участников.