ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 2 - 2.43

**1)** Докажем тождество: $$ C_n^0 + \frac{1}{2}C_n^1 + \ldots + \frac{1}{n+1}C_n^n = \frac{2^{n+1} - 1}{n+1} $$ Преобразуем общий член суммы $\frac{1}{k+1}C_n^k$, используя формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$: $$ \frac{1}{k+1}C_n^k = \frac{1}{k+1} \cdot \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n!}{(k+1)!(n-k)!} $$ Умножим и разделим полученное выражение на $n+1$: $$ \frac{n!}{(k+1)!(n-k)!} = \frac{(n+1)!}{(n+1)(k+1)!(n-k)!} = \frac{1}{n+1} \cdot \frac{(n+1)!}{(k+1)!((n+1)-(k+1))!} = \frac{1}{n+1}C_{n+1}^{k+1} $$ Таким образом, для любого $k$ от $0$ до $n$ выполняется равенство: $$ \frac{1}{k+1}C_n^k = \frac{1}{n+1}C_{n+1}^{k+1} $$ Подставим это выражение в левую часть исходного тождества: $$ C_n^0 + \frac{1}{2}C_n^1 + \ldots + \frac{1}{n+1}C_n^n = \frac{1}{n+1}C_{n+1}^1 + \frac{1}{n+1}C_{n+1}^2 + \ldots + \frac{1}{n+1}C_{n+1}^{n+1} $$ Вынесем общий множитель $\frac{1}{n+1}$ за скобки: $$ \frac{1}{n+1} \left( C_{n+1}^1 + C_{n+1}^2 + \ldots + C_{n+1}^{n+1} \right) $$ По формуле бинома Ньютона сумма всех биномиальных коэффициентов степени $n+1$ равна: $$ C_{n+1}^0 + C_{n+1}^1 + C_{n+1}^2 + \ldots + C_{n+1}^{n+1} = (1 + 1)^{n+1} = 2^{n+1} $$ Так как $C_{n+1}^0 = 1$, получаем: $$ C_{n+1}^1 + C_{n+1}^2 + \ldots + C_{n+1}^{n+1} = 2^{n+1} - C_{n+1}^0 = 2^{n+1} - 1 $$ Подставим данную сумму: $$ \frac{1}{n+1} \left( 2^{n+1} - 1 \right) = \frac{2^{n+1} - 1}{n+1} $$ Тождество доказано. --- **2)** Докажем тождество: $$ C_n^1 + 2C_n^2 + \ldots + nC_n^n = n2^{n-1} $$ Преобразуем слагаемое вида $kC_n^k$ при $k \ge 1$: $$ kC_n^k = k \cdot \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} $$ Вынесем множитель $n$: $$ \frac{n \cdot (n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))!} = n \cdot C_{n-1}^{k-1} $$ То есть $kC_n^k = n C_{n-1}^{k-1}$. Применим эту формулу к каждому слагаемому левой части: $$ C_n^1 + 2C_n^2 + \ldots + nC_n^n = nC_{n-1}^0 + nC_{n-1}^1 + \ldots + nC_{n-1}^{n-1} $$ Вынесем $n$ за скобки: $$ n \left( C_{n-1}^0 + C_{n-1}^1 + \ldots + C_{n-1}^{n-1} \right) $$ Сумма биномиальных коэффициентов в скобках представляет собой разложение $(1+1)^{n-1}$: $$ C_{n-1}^0 + C_{n-1}^1 + \ldots + C_{n-1}^{n-1} = (1 + 1)^{n-1} = 2^{n-1} $$ Следовательно: $$ n \cdot 2^{n-1} = n2^{n-1} $$ Тождество доказано. --- **3)** Докажем тождество при $n \ge 2$: $$ C_n^1 - 2C_n^2 + \ldots + (-1)^{n-1}nC_n^n = 0 $$ Используем полученное в предыдущем пункте соотношение $kC_n^k = nC_{n-1}^{k-1}$ для каждого слагаемого: $$ C_n^1 - 2C_n^2 + \ldots + (-1)^{n-1}nC_n^n = nC_{n-1}^0 - nC_{n-1}^1 + \ldots + (-1)^{n-1}nC_{n-1}^{n-1} $$ Вынесем общий множитель $n$ за скобки: $$ n \left( C_{n-1}^0 - C_{n-1}^1 + C_{n-1}^2 - \ldots + (-1)^{n-1}C_{n-1}^{n-1} \right) $$ Знакопеременная сумма в скобках является разложением бинома $(1 - 1)^{n-1}$: $$ (1 - 1)^{n-1} = C_{n-1}^0 - C_{n-1}^1 + C_{n-1}^2 - \ldots + (-1)^{n-1}C_{n-1}^{n-1} $$ Так как $n \ge 2$, показатель степени $n - 1 \ge 1$: $$ (1 - 1)^{n-1} = 0^{n-1} = 0 $$ Подставим полученное значение в выражение: $$ n \cdot 0 = 0 $$ Тождество доказано.