ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 2 - 2.44

**1)** Для вычисления суммы воспользуемся формулой бинома Ньютона: $$(a + b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \ldots + C_n^n b^n$$ Положим $a = 1$ и $b = 2$: $$(1 + 2)^n = C_n^0 \cdot 1^n + C_n^1 \cdot 1^{n-1} \cdot 2 + C_n^2 \cdot 1^{n-2} \cdot 2^2 + \ldots + C_n^n \cdot 2^n$$ Упростим выражение: $$3^n = C_n^0 + 2C_n^1 + 2^2 C_n^2 + \ldots + 2^n C_n^n$$ Таким образом, искомая сумма равна $3^n$. **2)** Запишем разложение бинома $(1 + x)^n$: $$(1 + x)^n = C_n^0 + C_n^1 x + C_n^2 x^2 + C_n^3 x^3 + C_n^4 x^4 + \ldots + C_n^n x^n$$ Подставим в это равенство $x = 1$: $$(1 + 1)^n = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + C_n^3 + C_n^4 + \ldots + C_n^n$$ $$2^n = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + C_n^3 + C_n^4 + \ldots + C_n^n \quad (1)$$ Теперь подставим $x = -1$ (при $n \ge 1$): $$(1 - 1)^n = C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - C_n^3 + C_n^4 - \ldots + (-1)^n C_n^n$$ $$0 = C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - C_n^3 + C_n^4 - \ldots + (-1)^n C_n^n \quad (2)$$ Сложим равенства $(1)$ и $(2)$. При сложении слагаемые с нечётными верхними индексами взаимно уничтожатся, а с чётными — удвоятся: $$2^n + 0 = 2\left(C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + \ldots\right)$$ Разделим обе части на 2: $$C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + \ldots = \frac{2^n}{2} = 2^{n-1}$$ **3)** В записи суммы $C_n^0 + C_n^2 + C_n^5 + \ldots$ содержится опечатка: ряд индексов не образует закономерности. По смыслу темы и формулы бинома Ньютона третьим пунктом требуется найти сумму биномиальных коэффициентов с нечётными индексами: $$C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + \ldots$$ Для нахождения этой суммы вычтем почленно равенство $(2)$ из равенства $(1)$: $$2^n - 0 = \left(C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \ldots\right) - \left(C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - \ldots\right)$$ Слагаемые с чётными индексами взаимно уничтожатся, а с нечётными — удвоятся: $$2^n = 2\left(C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + \ldots\right)$$ Разделим обе части на 2: $$C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + \ldots = \frac{2^n}{2} = 2^{n-1}$$ **Ответ:** 1) $3^n$; 2) $2^{n-1}$; 3) $2^{n-1}$ (с учётом исправления опечатки на $C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + \ldots$).