ГДЗ по алгебре 9 класс Шыныбеков раздел 0 / вопрос - 18

### 1. Определение рационального неравенства **Рациональным неравенством** называется неравенство, в левой и правой частях которого стоят рациональные выражения (то есть выражения, составленные из чисел и переменной с помощью арифметических операций: сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень). С помощью тождественных преобразований любое рациональное неравенство с одной переменной можно привести к одному из следующих стандартных видов: $$ \frac{P(x)}{Q(x)} > 0, \quad \frac{P(x)}{Q(x)} < 0, \quad \frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0, \quad \frac{P(x)}{Q(x)} \le 0 $$ где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены, причём $Q(x) \neq 0$. Если знаменатель не содержит переменной, неравенство имеет вид $P(x) \lor 0$ (целое рациональное неравенство). --- ### 2. Применение метода интервалов Метод интервалов основан на свойстве непрерывной функции сохранять свой знак на интервале между двумя соседними нулями или точками разрыва. Алгоритм применения метода интервалов: 1. **Приведение неравенства к стандартному виду:** Перенести все слагаемые в левую часть так, чтобы в правой части остался нуль, и преобразовать левую часть к виду произведения или дроби: $$ f(x) > 0 \quad (\text{или } < 0, \; \ge 0, \; \le 0) $$ 2. **Нахождение граничных точек:** - Найти нули функции (корни числителя), решив уравнение $P(x) = 0$. - Найти область определения / точки разрыва (корни знаменателя), решив уравнение $Q(x) = 0$. 3. **Нанесение точек на числовую прямую:** - Отметить все найденные корни на числовой прямой в порядке возрастания. Эти точки делят прямую на интервалы знакопостоянства. - Если неравенство *строгое* ($>$ или $<$), все точки отмечаются выколотыми (светлыми кружками). - Если неравенство *нестрогое* ($\ge$ или $\le$), нули числителя отмечаются закрашенными (темными кружками), а корни знаменателя — всегда выколотыми, так как деление на нуль невозможно. 4. **Определение знаков на каждом промежутке:** - Выбрать по одной пробной точке из каждого интервала и подставить её значение в функцию $f(x)$, определив знак выражения ($+$ или $-$) на данном интервале. - Либо определить знак на крайнем правом промежутке и расставить знаки, двигаясь справа налево с учётом кратности корней: при переходе через корень нечётной кратности знак меняется на противоположный, при переходе через корень чётной кратности знак сохраняется. 5. **Выбор нужных интервалов и запись ответа:** - Если знак неравенства $>$ или $\ge$, выбирают интервалы со знаком «$+$». - Если знак неравенства $<$ или $\le$, выбирают интервалы со знаком «$-»$. - Для нестрогих неравенств обязательно включают в ответ изолированные закрашенные точки, в которых выражение обращается в ноль. - Записать полученное множество решений в виде числовых промежутков или объединения промежутков.